Линейная зависимость векторов

Understanding the basis transformation

I’m tasked with determining the matrix that converts coordinates from basis B' to B''. I note the vectors in each basis and their expressions in terms of the standard basis.

Compiling standard basis matrices

I’m thinking through leveraging standard basis matrices to derive the change of basis matrix, P = (I_{B''})^{-1} I_{B’}, using the expressions for vectors in B' and B''.

Determining the inverse

I’m calculating the inverse of I_{B''} by finding its determinant and adjugate. This involves solving the matrix equation and ensuring the matrix is invertible.

Gathering matrix specifics

Piecing together the matrix of cofactors, I’ll transpose it to find the inverse of I_{B''}, which is crucial for calculating P = (I_{B''})^{-1} I_{B’}.

Crafting cofactors and adjugate

I’ve pinpointed the minors and cofactors for I_{B''}, then transposed the cofactor matrix to form the adjugate. Scaling with the inverse of the determinant, I’m ensuring accuracy throughout.

Leveraging determinants

OK, let me see. By multiplying the inverted matrix A^{-1} with I_{B’}, I can pinpoint the change of basis matrix P. Progress is steady and promising.

Breaking down entries

I’m ensuring the change of basis matrix P is correctly formed by carefully calculating each entry using the dot product of rows from the inverted matrix A^{-1} and columns from I_{B’}.

Verifying calculations

I’ve verified each entry of matrix P by recalculating the dot products of rows from the inverted matrix A^{-1} and columns from I_{B’}, ensuring accuracy throughout.

Thought for 15 seconds

Чтобы найти матрицу перехода из базиса $\mathbf{B}'$ в базис $\mathbf{B}''$, воспользуемся следующими шагами:

1. Определение матриц базисов:

   Базис $\mathbf{B}'$ представлен в стандартном базисе следующим образом:

   $$\mathbf{B}' = \left\{ \mathbf{e}_1' = \mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3, \; \mathbf{e}_2' = -\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 - 2\mathbf{e}_3, \; \mathbf{e}_3' = -\mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3 \right\}$$

   Матрица $I_{\mathbf{B}'}$ будет:

   $$I_{\mathbf{B}'} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$

   Базис $\mathbf{B}''$ представлен следующим образом:

   $$\mathbf{B}'' = \left\{ \mathbf{e}_1'' = \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2, \; \mathbf{e}_2'' = -\mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3, \; \mathbf{e}_3'' = 2\mathbf{e}_1 + 3\mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3 \right\}$$

   Матрица $I_{\mathbf{B}''}$ будет:

   $$I_{\mathbf{B}''} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

2. Вычисление обратной матрицы $I_{\mathbf{B}''}^{-1}$:

   Вычисляем определитель матрицы $I_{\mathbf{B}''}$:

   $$\det(I_{\mathbf{B}''}) = 1 \cdot (-1 \cdot 1 - 3 \cdot 1) - 0 \cdot (1 \cdot 1 - 3 \cdot 0) + 2 \cdot (1 \cdot 1 - (-1) \cdot 0) = -4 - 0 + 2 = -2$$

   Затем находим адъюгированную матрицу и обратную матрицу:

   $$I_{\mathbf{B}''}^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -4 & 2 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

3. Вычисление матрицы перехода $P$:

   Матрица перехода из $\mathbf{B}'$ в $\mathbf{B}''$ находится как произведение $I_{\mathbf{B}''}^{-1}$ и $I_{\mathbf{B}'}$:

   $$P = I_{\mathbf{B}''}^{-1} \cdot I_{\mathbf{B}'} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ \frac{3}{2} & -2 & -1 \\ -\frac{1}{2} & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

   Пошаговые вычисления элементов матрицы $P$:

   $$P = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -5 \\ \frac{3}{2} & -2 & -1 \\ -\frac{1}{2} & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

Итоговая матрица перехода из базиса $\mathbf{B}'$ в базис $\mathbf{B}''$: