Площадь сечения струи

Wondering about fluid dynamics

OK, I’m working through a water stream from a hose, focusing on how its cross-sectional area changes with velocity due to gravity as it rises.

Assessing velocity and area

I'm starting by checking out how the hose's diameter and nozzle angle boost horizontal and vertical velocities, culminating in a constant flow rate throughout the trajectory.

Crunching the numbers

Starting with the nozzle's cross-sectional area, I double this area due to the halved velocity, arriving at the final cross-sectional area through mathematical calculations.

Crunching the numbers

I pore over the cross-sectional area calculations, verifying that doubling the original area due to the halved velocity yields a final measurement of 40.5 pi mm^2, which is around 127.17 mm^2.

Thought about площадь сечения струи for 12 seconds

Чтобы найти площадь сечения струи в высшей точке траектории, учтём, что расход воды (объём, проходящий в единицу времени) во всём полёте постоянен. Обозначим:

$d = 9 \text{ мм}$ — диаметр шланга и, следовательно, диаметр струи у выхода из шланга.
$v_0$ — скорость воды на выходе из шланга.
$\alpha = 60^\circ$ — угол вылета струи к горизонту.
$A_0$ — площадь поперечного сечения струи у выхода из шланга.
$A_{\max}$ — искомая площадь сечения струи в высшей точке.

1. Площадь сечения на выходе из шланга

Площадь круга с диаметром $d$ есть

A_0 = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi \times 9^2}{4} = \frac{81\pi}{4}\,.

2. Скорость струи в высшей точке

В самом начале струя имеет горизонтальную составляющую скорости $v_{0x} = v_0 \cos\alpha$ и вертикальную составляющую $v_{0y} = v_0 \sin\alpha$ .

В высшей точке траектории вертикальная скорость становится равной нулю ( $v_{y,\text{top}}=0$ ), а горизонтальная составляющая сохраняется, поскольку отсутствует сопротивление воздуха (задача обычно предполагает идеализированные условия):

v_{\text{top}} = v_{0x} = v_0 \cos 60^\circ = v_0 \cdot \frac{1}{2} = \frac{v_0}{2}.

3. Постоянство расхода

Объёмный расход $Q$ струи постоянен:

Q = A_0\,v_0 = A_{\max}\,v_{\text{top}}.

Отсюда

A_{\max} = A_0 \,\frac{v_0}{v_{\text{top}}} = A_0 \,\frac{v_0}{\tfrac{v_0}{2}} = 2\,A_0.

4. Подстановка численных значений

A_{\max} = 2 \times A_0 = 2 \times \frac{81\pi}{4} = \frac{81\pi}{2} \approx 127\,\text{мм}^2.

Ответ

\boxed{A_{\max} = \frac{81\pi}{2}\,\text{мм}^2 \approx 127\,\text{мм}^2.}