Nhiệt lượng khí lý tưởng

Phân tích tóm tắt bài toán

• Ta có một bình trụ ngang dài $2l$, chia đôi bởi một pít-tông mỏng cách nhiệt. Mỗi ngăn chứa $n$ mol khí lý tưởng đơn nguyên tử ở nhiệt độ ban đầu $T$.
• Pít-tông được giữ bởi hai lò xo (độ cứng $k$) nối với hai đáy của bình, ban đầu không biến dạng.
• Truyền nhiệt lượng $Q$ cho khí ở ngăn phải, pít-tông dịch chuyển một đoạn $x = \tfrac{l}{3}$.
• Ngăn trái có gắn nguồn điều nhiệt nên luôn giữ ở nhiệt độ $T$. Trong quá trình, ngăn trái bị nén đẳng nhiệt (vì T không đổi).
• Yêu cầu: Tính nhiệt lượng $Q'$ do khí ở ngăn trái toả ra trong quá trình này.

---

1. Trạng thái ban đầu

• Mỗi ngăn dài $l$, tiết diện bình là $A$ (không đổi).
• Thể tích ban đầu mỗi ngăn:

$$V_0 = A \cdot l.$$

• Số mol khí mỗi ngăn: $n$.
• Nhiệt độ ban đầu mỗi ngăn: $T$.
• Áp suất ban đầu mỗi ngăn (giả sử là $P_0$) được tính theo phương trình trạng thái khí lý tưởng:

$$P_0 = \frac{n R T}{V_0} \;=\; \frac{n R T}{A l}.$$

• Hai lò xo ban đầu không biến dạng, nên lực đàn hồi tác dụng lên pít-tông bằng không.

---

2. Trạng thái cuối

Sau khi cấp nhiệt $Q$ cho ngăn phải, pít-tông dời đi một đoạn $x = \tfrac{l}{3}$. Giả sử pít-tông dời về phía trái (đúng với trực giác: ngăn phải nóng hơn, giãn nở đẩy pít-tông sang trái).

• Thể tích ngăn trái lúc cuối:

$$V_{\text{trái,c}} \;=\; A\,(l - x) \;=\; A\!\bigl(l - \tfrac{l}{3}\bigr) \;=\; \tfrac{2}{3}\,A\,l.$$

• Thể tích ngăn phải lúc cuối:

$$V_{\text{phải,c}} \;=\; A\,(l + x) \;=\; A\!\bigl(l + \tfrac{l}{3}\bigr) \;=\; \tfrac{4}{3}\,A\,l.$$

• Vì pít-tông mỏng và cách nhiệt, không có truyền nhiệt trực tiếp giữa hai ngăn. Lò xo hai bên có độ cứng như nhau và ban đầu không biến dạng, nên ở vị trí cân bằng cuối, lực đàn hồi hai bên bằng nhau và triệt tiêu nhau. Điều này dẫn đến áp suất hai ngăn phải bằng nhau:

$$P_{\text{trái,c}} \;=\; P_{\text{phải,c}}.$$

2.1. Thông số ngăn trái ở trạng thái cuối

Ngăn trái nối với nguồn điều nhiệt ở $T$, nên quá trình của ngăn trái là đẳng nhiệt ở nhiệt độ $T$.

• Phương trình trạng thái cho ngăn trái (lúc cuối):

$$P_{\text{trái,c}}\,V_{\text{trái,c}} \;=\; n\,R\,T.$$

• Thay $V_{\text{trái,c}} = \tfrac{2}{3} A l$ ta được

$$P_{\text{trái,c}} = \frac{n R T}{\tfrac{2}{3}A l} = \frac{3}{2}\,\frac{n R T}{A l} = \frac{3}{2}\,P_0.$$

2.2. Thông số ngăn phải ở trạng thái cuối

Vì $P_{\text{phải,c}} = P_{\text{trái,c}} = \tfrac{3}{2}P_0$ và $V_{\text{phải,c}} = \tfrac{4}{3}A l$, nên nhiệt độ cuối của ngăn phải:

$$T_{\text{phải,c}} = \frac{P_{\text{phải,c}}\;V_{\text{phải,c}}}{n R} = \frac{\bigl(\tfrac{3}{2}P_0\bigr)\;\bigl(\tfrac{4}{3}A l\bigr)}{n R}.$$

Nhớ rằng $\displaystyle P_0 = \frac{n R T}{A l},$ thay vào ta được:

$$T_{\text{phải,c}} = \frac{\tfrac{3}{2}\,\bigl(\frac{n R T}{A l}\bigr)\,\tfrac{4}{3}\,(A l)}{n R} = 2\,T.$$

(Khí ở ngăn phải nóng lên gấp đôi nhiệt độ ban đầu.)

---

3. Tính nhiệt lượng $Q'$ do ngăn trái toả ra

Do ngăn trái biến đổi đẳng nhiệt ở nhiệt độ $T$, từ thể tích ban đầu $V_0 = A\,l$ về thể tích cuối $\tfrac{2}{3}A\,l$.

• $\Delta U_{\text{trái}} = 0$ (vì khí lý tưởng, quá trình đẳng nhiệt $\implies$ nội năng không đổi).
• Theo nguyên lý I Nhiệt động học:

$$Q'_{\text{trái}} \;=\; \Delta U_{\text{trái}} \;+\; W_{\text{trái}},$$

nhưng $\Delta U_{\text{trái}}=0$, nên

$$Q'_{\text{trái}} \;=\; W_{\text{trái}}.$$

• Công mà khí thực hiện (hoặc công nhận được) trong quá trình đẳng nhiệt được tính bằng:

$$W_{\text{trái}} = n R T \,\ln\!\Bigl(\frac{V_{\text{cuối}}}{V_{\text{đầu}}}\Bigr).$$

Ở đây,

$$V_{\text{đầu}} = A l,\quad V_{\text{cuối}} = \tfrac{2}{3}\,A l.$$

Vậy

$$W_{\text{trái}} = n R T \,\ln\!\Bigl(\frac{\tfrac{2}{3}A l}{A l}\Bigr) = n R T \,\ln\!\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr).$$

Vì $\ln\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr) < 0$, ta thấy $W_{\text{trái}}$ âm, nghĩa là công do môi trường (pít-tông + lò xo + ngăn phải) thực hiện lên khí trái. Đồng thời, $\displaystyle Q'_{\text{trái}} = W_{\text{trái}}$ cũng âm (nhìn từ phía khí). Nói cách khác, khí ở ngăn trái toả ra một nhiệt lượng bằng $-Q'_{\text{trái}}$.

Nếu đề bài yêu cầu giá trị “nhiệt lượng toả ra” (thường hiểu là đại lượng dương thể hiện phần nhiệt mà khí mất đi), ta lấy độ lớn:

$$\boxed{\,Q' = \bigl|\,Q'_{\text{trái}}\bigr| = n R T \,\Bigl|\ln\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)\Bigr| = n R T \,\ln\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr).\!}$$

(Nếu bài viết $Q'$ “do khí toả ra” và coi đó là số dương, ta thường sẽ ghi dưới dạng $nRT\ln(\tfrac{3}{2})$.)

---

4. Kết luận

Nhiệt lượng $Q'$ mà ngăn trái toả ra (tính theo giá trị dương) là

$$\boxed{Q' \;=\; n\,R\,T\,\ln\!\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr). }$$