감소수열 수렴점 존재 여부

결론부터 말하자면, 답은 “네, 존재한다(Yes)”입니다.
아래에서는 왜 그러한 감소수열이 항상 구성될 수 있는지에 대해 간단한 스케치를 제공합니다.

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문제 설정

• $X$는 strict total order(전순서)이 주어져 있는 무한 집합이며, 순서에 대해 조밀(dense) 하다.
  • 즉, 임의의 $x, y \in X$에서 $x < y$라면, 그 둘 사이에 위치하는 원소 $z$가 반드시 $X$ 안에 존재한다.
• 우리는 임의의 $\alpha \in X$에 대하여, $\alpha$를 수렴점(=최대 하계)으로 갖는, $X$의 원소들로 이루어진 감소수열 $(s_n)$ (즉, $s_1 > s_2 > s_3 > \dots$)이 존재하는지 묻고 있다.

결국 보이고자 하는 바는:

임의의 $\alpha \in X$에 대하여,

$$s_1 > s_2 > s_3 > \dots \quad\text{이면서}\quad \inf\{\,s_n : n \in \mathbb{N}\} = \alpha$$

를 만족하는 수열 $(s_n)\subset X$을 구성할 수 있는가?

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아이디어

조밀성(denseness)은 “두 점 사이에 항상 새로운 점을 넣을 수 있음”을 의미합니다. 이를 이용하여 다음과 같은 단계적 구성(constructive approach) 을 생각해볼 수 있습니다.

1. 시작점 잡기:
   $\alpha \in X$를 골랐을 때, 우선 $\alpha$보다 큰 어떤 원소 $s_1 \in X$를 하나 선택합니다.

   • 만약 $\alpha$가 집합 $X$의 최대 원소라면(즉, $\alpha$ 위에 다른 원소가 없다면) 이런 과정 자체가 불가능할 것입니다. 그러나 문제에서 그러한 극단적인 경우를 배제한다면(혹은 $X$가 그런 최대 원소를 갖지 않는다고 가정하거나, 갖더라도 그 원소가 문제의 $\alpha$가 아니라면), $s_1$을 잡는 것은 가능합니다.

2. 단계별로 점 삽입:
   이미 $s_n$을 구했다면, 조밀성으로 인해 $\alpha$와 $s_n$ 사이에는 항상 새로운 점을 넣을 수 있습니다. 즉,

   $$\alpha < s_n \quad\Longrightarrow\quad \alpha < z < s_n \ \text{인 } z \in X \text{ 존재}$$

   이므로, 그 $z$ 중에서 하나를 골라 **$s_{n+1}$**으로 삼습니다. 그러면

   $$\alpha < s_{n+1} < s_n$$

   을 만족하게 됩니다. 이렇게 하면 $(s_n)$은 자연스럽게 감소수열이 됩니다.

3. $\alpha$가 이 수열의 ‘최대 하계(수렴점)’가 됨을 확인:
   위 과정을 무한히 반복해서 얻은 수열 $(s_n)$에 대해,

   • $\alpha$보다 작은 하계는 될 수 없습니다. 왜냐하면 모든 $s_n$은 $\alpha$보다 크도록 골랐기 때문입니다.
   • 만약 $\alpha$보다 더 큰 어떤 값 $\beta$가 모든 $s_n$의 하계가 되려면($\beta \le s_n$ for all $n$), 이는 모순입니다. 왜냐하면 “$\alpha$와 $\beta$ 사이에도(조밀성 때문에) 더 작은 값을 골라 나갈 수 있기” 때문입니다. 즉, $\beta$를 하계로 만들기에는 $\beta$ 바로 아래로 계속 내려갈 수 있으므로 $\beta$가 하계가 될 수 없습니다.

결국 $\alpha$가 $(s_n)$의 가장 큰 하계(=infimum) 가 됩니다.

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정리

위의 과정은 $X$가 무한 집합이면서 동시에 조밀한 전순서를 갖고 있음을 본질적으로 사용했습니다.

• 무한집합이므로, “더 작은(또는 더 큰) 점을 무한히 골라낼 수 있다”는 점에서 유리합니다.
• 조밀성이 없으면, 예컨대 “$\alpha$의 바로 다음 원소(successor)가 존재”해서 그 사이가 비어있을 수도 있으므로, 매 단계 점을 더 집어넣는 과정이 불가능해질 수 있습니다.

그러므로 임의의 $\alpha \in X$에 대해 $\alpha$를 최대 하계로 갖는 감소수열 $(s_n)\subset X$가 항상 존재함을 알 수 있습니다.

결론: “네. $X$의 임의의 원소 $\alpha$에 대해, $\alpha$를 수렴점(최대 하계)으로 하는 감소수열을 만들 수 있다.”