Расчет расстояния до города

Давайте решим эту задачу последовательно.

Обозначения:

• $V_1$ — скорость грузовика (км/ч)
• $V_2$ — скорость автомобиля (км/ч)
• $S$ — расстояние от деревни до города (км)

---

Этап 1: Анализ движения грузовика и автомобиля

Грузовик выехал из деревни и через некоторое время, когда он проехал $42$ км, из деревни стартовал автомобиль.

Когда автомобиль проехал $30$ км, грузовик был на расстоянии $65$ км от деревни.
Таким образом, с момента старта автомобиля грузовик проехал:

$$65 - 42 = 23 \, \text{км}$$

Пусть $t$ — время, за которое автомобиль проехал 30 км (в часах). Тогда для автомобиля:

$$30 = V_2 \cdot t$$

Для грузовика:

$$23 = V_1 \cdot t$$

Отсюда выражаем время $t$:

$$t = \frac{30}{V_2} \quad \text{и} \quad t = \frac{23}{V_1}$$

Приравниваем:

$$\frac{30}{V_2} = \frac{23}{V_1} \quad \Rightarrow \quad V_1 = \frac{23}{30} V_2$$

---

Этап 2: Время до встречи в городе

Пусть общее расстояние от деревни до города равно $S$. Оба транспортных средства прибыли в город одновременно.

• Грузовик ехал всё расстояние $S$ с постоянной скоростью $V_1$.
• Автомобиль ехал расстояние $S - 42$ (так как он выехал позже) с постоянной скоростью $V_2$.

Пусть общее время движения грузовика равно $T$. Тогда для грузовика:

$$T = \frac{S}{V_1}$$

Для автомобиля его время в пути тоже равно $T$.

$$T = \frac{S - 42}{V_2}$$

---

Этап 3: Выражаем скорости через одно уравнение

Подставляем выражение $V_1 = \frac{23}{30} V_2$ в уравнение для времени:

$$T = \frac{S}{\frac{23}{30} V_2} = \frac{30 S}{23 V_2}$$

Теперь приравниваем это к времени автомобиля:

$$\frac{30 S}{23 V_2} = \frac{S - 42}{V_2}$$

Сократим на $V_2$ (предполагаем, что $V_2 \neq 0$):

$$\frac{30 S}{23} = S - 42$$

Умножим на 23, чтобы избавиться от знаменателя:

$$30 S = 23 S - 42 \cdot 23$$ $$30 S - 23 S = 966$$ $$7 S = 966$$ $$S = \frac{966}{7} = 138 \, \text{км}$$

---

Ответ:

Расстояние от деревни до города равно $\boxed{138}$ км.