Определить ускорение тела А с помощью уравнений Ла...

Примем, что нити невесомы и нерастяжимы, проскальзывания нет; каток $D$ катится без скольжения, а $\delta=1\text{ мм}$ — коэффициент трения качения. По схеме нить касается внутреннего барабана $D$ снизу, поэтому в кинематической связи появляется $R_D-r_D$.

Дано:

$$\begin{aligned} &r_C=0.22\text{ м},\quad R_C=0.41\text{ м},\quad i_C=0.36\text{ м},\\ &r_D=0.15\text{ м},\quad R_D=0.25\text{ м},\quad i_D=0.19\text{ м},\\ &\delta=0.001\text{ м},\\ &m_A=5,\quad m_B=2,\quad m_C=5,\quad m_D=8\text{ кг}. \end{aligned}$$

Моменты инерции:

$$J_C=m_Ci_C^2=5(0.36)^2=0.648\text{ кг·м}^2,$$ $$J_D=m_Di_D^2=8(0.19)^2=0.2888\text{ кг·м}^2.$$

1. Уравнение Лагранжа II рода

В качестве обобщённой координаты возьмём угол поворота барабана $C$:

$$q=\varphi_C,$$

положительное направление — против часовой стрелки. Тогда тело $A$ движется вниз.

Для грузов:

$$v_A=R_C\dot q,\qquad v_B=R_C\dot q.$$

Скорость горизонтальной нити:

$$v_{\text{н}}=r_C\dot q.$$

Для катка $D$. Обозначим его угол поворота через $\varphi_D$. При качении без скольжения

$$v_D=R_D\dot\varphi_D.$$

Скорость точки внутреннего барабана, к которой касается нижняя ветвь нити:

$$v_{\text{н}}=(R_D-r_D)\dot\varphi_D.$$

Следовательно,

$$r_C\dot q=(R_D-r_D)\dot\varphi_D,$$

откуда

$$\dot\varphi_D= \frac{r_C}{R_D-r_D}\dot q =\frac{0.22}{0.25-0.15}\dot q =2.2\dot q.$$

А скорость центра $D$:

$$v_D=R_D\dot\varphi_D =\frac{r_CR_D}{R_D-r_D}\dot q =0.55\dot q.$$

Кинетическая энергия системы:

$$T= \frac12m_A(R_C\dot q)^2+ \frac12m_B(R_C\dot q)^2+ \frac12J_C\dot q^2+ \frac12m_Dv_D^2+ \frac12J_D\dot\varphi_D^2.$$

Подставляя связи:

$$T=\frac12 \left[ (m_A+m_B)R_C^2+ J_C+ m_D\left(\frac{r_CR_D}{R_D-r_D}\right)^2+ J_D\left(\frac{r_C}{R_D-r_D}\right)^2 \right]\dot q^2.$$

Приведённый коэффициент инерции:

$$\begin{aligned} J_{\text{пр}}={}& 7(0.41)^2+0.648+ 8(0.55)^2+ 0.2888(2.2)^2\\ ={}&1.1767+0.648+2.420+1.397792\\ ={}&5.642492\text{ кг·м}^2. \end{aligned}$$

Обобщённая сила от тяжести грузов:

$$Q_g=(m_A-m_B)gR_C.$$

При $q>0$ груз $A$ опускается, а $B$ поднимается, поэтому

$$Q_g=(5-2)9.81(0.41)=12.0663\text{ Н·м}.$$

Момент сопротивления качению катка $D$:

$$M_{\text{кач}}=N\delta=m_Dg\delta.$$

Его приведённый обобщённый момент:

$$Q_{\text{кач}} =-M_{\text{кач}}\frac{d\varphi_D}{dq} =-m_Dg\delta \frac{r_C}{R_D-r_D}.$$

Численно:

$$Q_{\text{кач}} =-8(9.81)(0.001)(2.2) =-0.172656\text{ Н·м}.$$

Уравнение Лагранжа:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial\dot q} -\frac{\partial T}{\partial q} =Q_g+Q_{\text{кач}}.$$

Так как $T$ от $q$ не зависит:

$$J_{\text{пр}}\ddot q =(m_A-m_B)gR_C -m_Dg\delta\frac{r_C}{R_D-r_D}.$$

Отсюда

$$\ddot q= \frac{12.0663-0.172656}{5.642492} =2.108\text{ рад/с}^2.$$

Ускорение груза $A$:

$$a_A=R_C\ddot q =0.41(2.108) \approx0.864\text{ м/с}^2.$$

То есть

$$\boxed{a_A\approx0.86\text{ м/с}^2\ \text{вниз}}$$

---

2. Общее уравнение динамики

Используем принцип Даламбера–Лагранжа:

$$\sum \delta A_{\text{акт}}+ \sum \delta A_{\text{ин}}=0.$$

Пусть виртуальное перемещение соответствует $\delta q>0$.

Активные силы дают работу

$$\delta A_{\text{акт}} = m_AgR_C\delta q -m_BgR_C\delta q -m_Dg\delta \frac{r_C}{R_D-r_D}\delta q.$$

То есть

$$\delta A_{\text{акт}} = \left[ (m_A-m_B)gR_C -m_Dg\delta\frac{r_C}{R_D-r_D} \right]\delta q.$$

Теперь силы и моменты инерции.

Для $A$:

$$\delta A_A^{\text{ин}} =-m_AR_C^2\ddot q\,\delta q.$$

Для $B$:

$$\delta A_B^{\text{ин}} =-m_BR_C^2\ddot q\,\delta q.$$

Для барабана $C$:

$$\delta A_C^{\text{ин}} =-J_C\ddot q\,\delta q.$$

Для поступательного движения $D$:

$$a_D= \frac{r_CR_D}{R_D-r_D}\ddot q,$$

поэтому

$$\delta A_{D,\text{пост}}^{\text{ин}} = -m_D \left(\frac{r_CR_D}{R_D-r_D}\right)^2 \ddot q\,\delta q.$$

Для вращения $D$:

$$\varepsilon_D= \frac{r_C}{R_D-r_D}\ddot q,$$

поэтому

$$\delta A_{D,\text{вр}}^{\text{ин}} = -J_D \left(\frac{r_C}{R_D-r_D}\right)^2 \ddot q\,\delta q.$$

Общее уравнение динамики:

$$\begin{aligned} \Bigg[ &(m_A-m_B)gR_C -m_Dg\delta\frac{r_C}{R_D-r_D}\\ -&\left( (m_A+m_B)R_C^2+J_C+ m_D\left(\frac{r_CR_D}{R_D-r_D}\right)^2+ J_D\left(\frac{r_C}{R_D-r_D}\right)^2 \right)\ddot q \Bigg]\delta q=0. \end{aligned}$$

Поскольку $\delta q\neq0$:

$$5.642492\,\ddot q=11.893644,$$ $$\ddot q=2.108\text{ рад/с}^2,$$

и снова

$$\boxed{a_A=R_C\ddot q\approx0.864\text{ м/с}^2\ \text{вниз}}.$$

Оба метода дают один результат:

$$\boxed{\displaystyle a_A\approx0.86\ \text{м/с}^2,\qquad A\text{ движется вниз}.}$$

Если нужно, я могу ещё оформить это именно в виде «Дано — Решение» для сдачи в тетрадь, с рисунком направлений скоростей, ускорений и сил.