Сколько решений в натуральных числах имеет уравнен...

Разложим правую часть на простые множители:

$$12^{55}\cdot 15^{30} =(2^2\cdot3)^{55}(3\cdot5)^{30} =2^{110}3^{85}5^{30}.$$

Пусть

$$x=2^a3^b5^c,\qquad y=2^d3^e5^f.$$

Тогда из $x^7y^2=2^{110}3^{85}5^{30}$ получаем систему:

$$7a+2d=110,\qquad 7b+2e=85,\qquad 7c+2f=30.$$

Считаем число неотрицательных решений каждой пары:

• $7a+2d=110$: $a$ должно быть чётным, $0\le a\le15$, то есть $a=0,2,\ldots,14$ — 8 вариантов.
• $7b+2e=85$: $b$ нечётное, $0\le b\le12$, то есть $b=1,3,\ldots,11$ — 6 вариантов.
• $7c+2f=30$: $c$ чётное, $0\le c\le4$, то есть $c=0,2,4$ — 3 варианта.

Все выборы независимы, поэтому

$$8\cdot6\cdot3=\boxed{144}.$$

Ответ: $\boxed{144}$ решений.