برای حل، بازترسیم کامل شکل اصلی لازم نیست، ولی نمودار جسم آزاد میله صلب و شکل تغییرمکان سازگار لازم است.

1) اطلاعات هندسی و مکانیکی

میله $AD$ صلب است و در $A$ پین دارد؛ پس میله تغییر شکل خمشی نمی‌دهد و فقط حول $A$ دوران کوچک می‌کند.

فاصله‌ها:

$$AB=12\ \text{in},\qquad AC=24\ \text{in},\qquad AD=36\ \text{in}$$

طول سیم چپ:

$$L_B=10\ \text{in}$$

طول سیم راست:

$$L_C=10+8=18\ \text{in}$$

قطر هر سیم:

$$d=\frac{1}{16}\ \text{in}$$

مدول الاستیسیته:

$$E=29\times 10^6\ \text{psi}$$

بار:

$$P=220\ \text{lb}$$

---

2) نحوه رسم نمودار جسم آزاد

برای نمودار جسم آزاد میله $AD$:

1. یک میله افقی از $A$ تا $D$ بکش.
2. در $A$، واکنش‌های پین را نشان بده: $$A_x,\ A_y$$
3. در $B$، نیروی کشش سیم را رو به بالا رسم کن: $$T_B$$
4. در $C$، نیروی کشش سیم راست را رو به بالا رسم کن: $$T_C$$
5. در $D$، بار $P=220\ \text{lb}$ را رو به پایین رسم کن.

نیازی به استفاده از معادله نیروهای افقی نداریم، چون بار افقی وجود ندارد. معادله اصلی تعادل، ممان حول $A$ است.

---

3) رابطه سازگاری تغییرمکان‌ها

چون میله صلب است، اگر تحت بار $P$ کمی ساعتگرد حول $A$ بچرخد، جابه‌جایی قائم هر نقطه با فاصله آن از $A$ متناسب است.

فرض کنیم دوران کوچک میله برابر $\theta$ رادیان باشد.

پس:

$$\delta_B=12\theta$$ $$\delta_C=24\theta$$ $$\delta_D=36\theta$$

چون سیم‌ها در ابتدا کشیده و بدون لقی بوده‌اند، افزایش طول هر سیم برابر جابه‌جایی قائم نقطه اتصال آن است. بنابراین:

$$\Delta L_B=\delta_B=12\theta$$ $$\Delta L_C=\delta_C=24\theta$$

---

4) سطح مقطع سیم‌ها

$$A_s=\frac{\pi d^2}{4}$$ $$A_s=\frac{\pi}{4}\left(\frac{1}{16}\right)^2$$ $$A_s=0.003068\ \text{in}^2$$

---

5) سختی محوری هر سیم

برای یک عضو کششی:

$$T=\frac{EA}{L}\Delta L$$

پس سختی سیم چپ:

$$k_B=\frac{EA_s}{L_B}$$ $$k_B=\frac{(29\times 10^6)(0.003068)}{10}$$ $$k_B=8897\ \text{lb/in}$$

سختی سیم راست:

$$k_C=\frac{EA_s}{L_C}$$ $$k_C=\frac{(29\times 10^6)(0.003068)}{18}$$ $$k_C=4943\ \text{lb/in}$$

---

6) نیروی کشش در سیم‌ها برحسب دوران میله

برای سیم چپ:

$$T_B=k_B\delta_B$$ $$T_B=8897(12\theta)$$

برای سیم راست:

$$T_C=k_C\delta_C$$ $$T_C=4943(24\theta)$$

---

7) معادله تعادل ممان حول $A$

ممان نیروهای کشش سیم‌ها حول $A$ خلاف جهت ممان بار $P$ است.

$$\sum M_A=0$$ $$12T_B+24T_C=36P$$

با $P=220$:

$$12T_B+24T_C=36(220)$$ $$12T_B+24T_C=7920$$

اکنون $T_B$ و $T_C$ را برحسب $\theta$ جایگذاری می‌کنیم:

$$12[8897(12\theta)]+24[4943(24\theta)]=7920$$ $$\theta=0.001918\ \text{rad}$$

---

8) کشش اضافی در هر سیم

سیم چپ در $B$

$$T_B=8897(12)(0.001918)$$ $$T_B=204.8\ \text{lb}$$

پس:

$$\boxed{\Delta T_B \approx 205\ \text{lb}}$$

---

سیم راست در $C$

$$T_C=4943(24)(0.001918)$$ $$T_C=227.6\ \text{lb}$$

پس:

$$\boxed{\Delta T_C \approx 228\ \text{lb}}$$

دقت کن که با وجود طول بیشتر سیم راست، چون نقطه $C$ دو برابر $B$ پایین می‌رود، کشش سیم راست کمی بیشتر می‌شود.

---

9) انحراف نقطه $D$

$$\delta_D=36\theta$$ $$\delta_D=36(0.001918)$$ $$\delta_D=0.0691\ \text{in}$$

پس انحراف نقطه $D$:

$$\boxed{\delta_D \approx 0.069\ \text{in downward}}$$

یعنی:

$$\boxed{\delta_D \approx 0.069\ \text{in به سمت پایین}}$$

---

جواب نهایی

$$\boxed{\Delta T_B \approx 205\ \text{lb}}$$ $$\boxed{\Delta T_C \approx 228\ \text{lb}}$$ $$\boxed{\delta_D \approx 0.069\ \text{in downward}}$$