حل را با نمودار جسم آزاد گشتاوری انجام می‌دهیم؛ رسم سه‌بعدی لازم نیست، ولی رسم یک شکل ساده از گشتاورها کمک می‌کند.

1) داده‌های مسئله

گشتاور اعمالی در انتهای $D$:

$$T_D = 1000 \ \text{N.m}$$

تنش برشی مجاز هر میله:

$$\tau_{allow}=60 \ \text{MPa}=60 \ \text{N/mm}^2$$

ابعاد چرخ‌دنده‌ها:

$$r_B=100 \ \text{mm}$$ $$r_C=40 \ \text{mm}$$

حتی اگر این اعداد قطر چرخ‌دنده‌ها باشند، نسبت گشتاورها تغییر نمی‌کند، چون فقط نسبت $100/40$ مهم است.

---

2) نحوه رسم شکل آزاد لازم

برای حل، این شکل ساده را رسم کن:

میله راست $CD$

یک خط افقی بکش:

$$C \longrightarrow D$$

در انتهای $D$، گشتاور داده‌شده را بگذار:

$$T_D=1000 \ \text{N.m}$$

در محل چرخ‌دنده $C$، گشتاوری مخالف آن رسم کن. چون یاتاقان‌ها گشتاور پیچشی نمی‌گیرند، تعادل میله $CD$ می‌دهد:

$$T_C = T_D = 1000 \ \text{N.m}$$

پس گشتاور داخلی در میله $CD$:

$$T_{CD}=1000 \ \text{N.m}$$

---

چرخ‌دنده‌ها

در تماس دو چرخ‌دنده، نیروی مماسی مشترک است. بنابراین:

$$F=\frac{T_C}{r_C}$$

و گشتاور وارد بر چرخ‌دنده بزرگ $B$:

$$T_B=F r_B$$

پس:

$$T_B=\frac{T_C}{r_C}r_B$$ $$T_B=T_C\frac{r_B}{r_C}$$

جایگذاری:

$$T_B=1000\left(\frac{100}{40}\right)$$ $$T_B=2500 \ \text{N.m}$$

پس گشتاور داخلی در میله $AB$:

$$T_{AB}=2500 \ \text{N.m}$$

---

3) فرمول تنش برشی در میله دایره‌ای توپر

برای میله دایره‌ای توپر:

$$\tau_{max}=\frac{Tc}{J}$$

که برای مقطع دایره‌ای توپر به شکل زیر ساده می‌شود:

$$\tau_{max}=\frac{16T}{\pi d^3}$$

شرط طراحی:

$$\tau_{max}\leq \tau_{allow}$$

پس قطر لازم:

$$d=\left(\frac{16T}{\pi \tau_{allow}}\right)^{1/3}$$

دقت کن که باید $T$ را بر حسب $\text{N.mm}$ وارد کنیم.

---

الف) قطر لازم میله $AB$

گشتاور میله $AB$:

$$T_{AB}=2500 \ \text{N.m}$$

تبدیل واحد:

$$T_{AB}=2500\times 1000=2.5\times 10^6 \ \text{N.mm}$$

فرمول قطر:

$$d_{AB}=\left(\frac{16T_{AB}}{\pi \tau_{allow}}\right)^{1/3}$$ $$d_{AB}=\left(\frac{16(2.5\times 10^6)}{\pi(60)}\right)^{1/3}$$ $$d_{AB}=59.65 \ \text{mm}$$

پس:

$$\boxed{d_{AB}\approx 59.6 \ \text{mm}}$$

برای طراحی عملی باید رو به بالا گرد شود:

$$\boxed{d_{AB}=60 \ \text{mm}}$$

---

ب) قطر لازم میله $CD$

گشتاور میله $CD$:

$$T_{CD}=1000 \ \text{N.m}$$

تبدیل واحد:

$$T_{CD}=1000\times 1000=1.0\times 10^6 \ \text{N.mm}$$

فرمول قطر:

$$d_{CD}=\left(\frac{16T_{CD}}{\pi \tau_{allow}}\right)^{1/3}$$ $$d_{CD}=\left(\frac{16(1.0\times 10^6)}{\pi(60)}\right)^{1/3}$$ $$d_{CD}=43.95 \ \text{mm}$$

پس:

$$\boxed{d_{CD}\approx 44.0 \ \text{mm}}$$

برای طراحی عملی:

$$\boxed{d_{CD}=44 \ \text{mm}}$$

---

جواب نهایی

$$\boxed{d_{AB}\approx 60 \ \text{mm}}$$ $$\boxed{d_{CD}\approx 44 \ \text{mm}}$$

نکته اصلی مسئله این بود که گشتاور در میله $AB$ به دلیل بزرگ‌تر بودن چرخ‌دنده $B$، نسبت به گشتاور وارد بر میله $CD$ افزایش پیدا می‌کند:

$$T_{AB}=T_{CD}\frac{100}{40}=2.5T_{CD}$$