Найдите все значения параметра а, при каждом из ко...

Обозначим

$$t=x-a,\qquad s=|x-a-2|+|x-a+2|=|t-2|+|t+2|.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$s^2-as+a^2-64=0.$$

Теперь разберём, какие значения может принимать $s$.

Для функции

$$s=|t-2|+|t+2|$$

имеем:

$$s= \begin{cases} 4, & |t|\le 2,\\[2mm] 2|t|, & |t|>2. \end{cases}$$

Значит:

• $s\ge 4$;
• при $s=4$ получаем бесконечно много $t\in[-2,2]$, значит и бесконечно много $x$;
• при $s>4$ каждому значению $s$ соответствуют ровно два значения $t$, а значит и ровно два значения $x$.

Следовательно, исходное уравнение будет иметь ровно два различных корня тогда и только тогда, когда квадратное уравнение

$$s^2-as+a^2-64=0$$

имеет ровно одно допустимое значение $s$ из области $s>4$.

---

Рассмотрим квадратный трёхчлен

$$f(s)=s^2-as+a^2-64.$$

1) Один корень больше 4, другой меньше 4

Так как ветви параболы направлены вверх, это эквивалентно условию

$$f(4)<0.$$

Считаем:

$$f(4)=16-4a+a^2-64=a^2-4a-48=(a-12)(a+4).$$

Тогда

$$(a-12)(a+4)<0 \quad\Longleftrightarrow\quad -4<a<12.$$

В этом случае один корень по $s$ меньше 4, а другой больше 4, и потому получаем ровно 2 корня по $x$.

2) Двойной корень $s>4$

Нужно, чтобы дискриминант был нулём:

$$D=a^2-4(a^2-64)=256-3a^2=0.$$

Отсюда

$$a=\pm \frac{16}{\sqrt3}.$$

Двойной корень равен

$$s=\frac a2.$$

Чтобы он был допустим, нужно

$$\frac a2>4 \quad\Longleftrightarrow\quad a>8.$$

Из двух значений подходит только

$$a=\frac{16}{\sqrt3}.$$

---

Граничные значения $a=-4$ и $a=12$ не подходят, потому что тогда $s=4$, а это даёт бесконечно много корней.

Итак, ответ:

$$\boxed{a\in(-4,\,12)\cup\left\{\frac{16}{\sqrt3}\right\}.}$$