В основании четырёхугольной пирамиды `SABCD` лежит...

Обозначим через $\Pi$ плоскость грани $SAB$.

Нужно доказать, что

$$V_{SABCD}=\frac23 Qh.$$

Здесь $Q=S_{\triangle SAB}$, а $h$ — расстояние от точки $C$ до плоскости $\Pi$.

---

1. Разобьём пирамиду на две тетраэдра

Так как основание $ABCD$ — параллелограмм, диагональ $AC$ делит его на два равновеликих треугольника:

$$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ACD}.$$

Поэтому пирамиду $SABCD$ можно представить как сумму двух тетраэдров:

$$SABCD = SABC \cup SACD.$$

Значит,

$$V_{SABCD}=V_{SABC}+V_{SACD}.$$

---

2. Объём тетраэдра $SABC$

У тетраэдра $SABC$ возьмём основанием грань $SAB$.
Её площадь равна $Q$.

Точка $C$ является четвёртой вершиной, а расстояние от неё до плоскости $SAB$ по условию равно $h$.
Следовательно,

$$V_{SABC}=\frac13 Qh.$$

---

3. Объём тетраэдра $SACD$

Теперь рассмотрим тетраэдр $SACD$. Покажем, что его объём тоже равен $\frac13 Qh$.

Возьмём в качестве основания треугольник $SAC$. Тогда

$$V_{SABC}=\frac13 S_{\triangle SAC}\cdot d(B,\sigma),$$ $$V_{SACD}=\frac13 S_{\triangle SAC}\cdot d(D,\sigma),$$

где $\sigma$ — плоскость $SAC$.

Значит, достаточно доказать, что

$$d(B,\sigma)=d(D,\sigma).$$

---

4. Почему расстояния от $B$ и $D$ до плоскости $SAC$ равны

Так как $ABCD$ — параллелограмм, его диагонали пересекаются и делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. Тогда

$$\vec{OB}=-\vec{OD}.$$

Кроме того, точки $A,O,C$ лежат на одной прямой, значит $O\in AC$, а потому $O$ лежит в плоскости $\sigma=SAC$.

Плоскость $\sigma$, проходящая через точку $O$, обладает таким свойством: если для двух точек

$$\vec{OX}=-\vec{OY},$$

то их расстояния до этой плоскости равны.
Действительно, у точек, симметричных относительно $O$, проекции на нормаль к плоскости отличаются только знаком, значит модули этих проекций равны.

Применяя это к точкам $B$ и $D$, получаем

$$d(B,\sigma)=d(D,\sigma).$$

Следовательно,

$$V_{SABC}=V_{SACD}.$$

Но уже найдено, что

$$V_{SABC}=\frac13 Qh.$$

Значит,

$$V_{SACD}=\frac13 Qh.$$

---

5. Складываем объёмы

Итак,

$$V_{SABCD}=V_{SABC}+V_{SACD} =\frac13 Qh+\frac13 Qh =\frac23 Qh.$$

Что и требовалось доказать:

$$\boxed{V_{SABCD}=\frac23 Qh}.$$

---

Если хочешь, я могу ещё привести совсем короткое решение в 5 строк или оформить это как строгое олимпиадное доказательство.