реши здесь первый номер только под буквой b)

1(b). Проверка “условий общности” для задачи оптимального быстродействия

Дана система

$$\dot x = Ax + Bu,\qquad A=\begin{pmatrix}-1&0\\-2&-3\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}-1\\ 1\end{pmatrix},\quad u(t)\in U=[-1,2].$$

Здесь $f(x,u)=Ax+Bu$.

Проверим типичные условия общности (достаточные для существования траектории при любом допустимом управлении и применимости общей формы принципа максимума):

1) Компактность множества управлений

$U=[-1,2]$ — замкнутый и ограниченный отрезок на $\mathbb R$ ⇒ компактен. Условие выполнено.

2) Измеримость/допустимость управления

Обычно требуется, чтобы $u(t)$ было измеримым (или кусочно-непрерывным) и $u(t)\in U$ почти всюду. Это стандартно задаётся в задачах быстродействия; при таком классе управлений условие выполнено.

3) Непрерывность правой части по $(x,u)$

$f(x,u)=Ax+Bu$ — линейная функция ⇒ непрерывна по $x$ и $u$ (и по $t$, т.к. явно от $t$ не зависит). Условие выполнено.

4) Липшицевость по $x$ (глобальная)

$$\|f(x_1,u)-f(x_2,u)\|=\|A(x_1-x_2)\|\le \|A\|\,\|x_1-x_2\|.$$

Например, в норме $\|\cdot\|_\infty$:

$$\|A\|_\infty=\max\{|-1|+|0|,\ |-2|+|-3|\}=\max\{1,5\}=5,$$

значит

$$\|f(x_1,u)-f(x_2,u)\|_\infty \le 5\,\|x_1-x_2\|_\infty.$$

Липшицевость (даже глобальная) выполнена ⇒ для любого допустимого $u(t)$ существует единственное решение $x(t)$.

5) Линейный рост (оценка)

Так как $|u|\le 2$,

$$\|f(x,u)\|\le \|A\|\,\|x\|+\|B\|\,|u|\le \|A\|\,\|x\|+2\|B\|.$$

Например, в $\|\cdot\|_\infty$: $\|B\|_\infty=\max\{1,1\}=1$, получаем

$$\|f(x,u)\|_\infty \le 5\|x\|_\infty + 2.$$

Условие роста выполнено.

6) Гладкость по $x$

$$\frac{\partial f}{\partial x}=A$$

— постоянная матрица ⇒ производная существует и непрерывна. Условие выполнено.

---

Вывод: для данной линейной системы с ограниченным управлением $u(t)\in[-1,2]$ все стандартные “условия общности” (компактность $U$, непрерывность и липшицевость $f$ по $x$, линейный рост, гладкость по $x$) выполнены, значит общая теорема/принцип максимума Понтрягина к этой задаче быстродействия применим (при стандартных граничных условиях задачи).