logoChat01.ai

Может ли сечением куба быть тупоугольный треугольн...

Создано: 10 февраля 2026 г.

Отвечено с использованием GPT-5.2 Thinking от Chat01

Вопрос

Может ли сечением куба быть тупоугольный треугольник?

Python

python
import random, itertools, math, numpy as np, sys, statistics
# define cube edges in [0,1]^3
verts = [(x,y,z) for x in (0,1) for y in (0,1) for z in (0,1)]
# edges between vertices differing in one coordinate
edges=[]
for v in verts:
    for i in range(3):
        w=list(v)
        w[i]=1-w[i]
        w=tuple(w)
        if v<w: # avoid duplicates
            # check differ in exactly one coord
            if sum(a!=b for a,b in zip(v,w))==1:
                edges.append((v,w))
len(edges), edges[:5]


(12,
 [((0, 0, 0), (1, 0, 0)),
  ((0, 0, 0), (0, 1, 0)),
  ((0, 0, 0), (0, 0, 1)),
  ((0, 0, 1), (1, 0, 1)),
  ((0, 0, 1), (0, 1, 1))])

Python

python
import numpy as np, math, random

def plane_from_points(p,q,r,eps=1e-9):
    p,q,r = map(np.array, (p,q,r))
    n = np.cross(q-p, r-p)
    norm = np.linalg.norm(n)
    if norm<eps:
        return None
    n = n/norm
    d = n.dot(p)
    return n,d

def intersect_plane_edge(n,d,edge,eps=1e-9):
    p0=np.array(edge[0],dtype=float); p1=np.array(edge[1],dtype=float)
    f0=n.dot(p0)-d; f1=n.dot(p1)-d
    if abs(f0)<eps and abs(f1)<eps:
        # edge lies in plane; return both endpoints as special
        return "coplanar"
    if abs(f0)<eps:
        return tuple(p0)
    if abs(f1)<eps:
        return tuple(p1)
    if f0*f1>0:
        return None
    t=f0/(f0-f1)
    if t<-eps or t>1+eps:
        return None
    p=p0

(False, None)

Мысль

Proving acute triangle for cube cross-sections

After testing 200k random cases, no obtuse triangle was found, leading me to suspect all cube cross-sections are acute. I wonder if it's true that every triangle from a plane cutting the cube must be acute. Based on my reasoning, the plane cuts through three orthogonal edges, ensuring an acute triangle.

Exploring triangle intersections in cube

To verify if any triangle section must cut off a corner, I’m reasoning combinatorially. A cube's vertex connects to three edges, and any intersecting plane will create a polygon with its vertices on cube edges. For a triangle section, each edge is part of a distinct adjacent face, likely meeting at a common vertex.

Formalizing triangle intersections in a cube

For a triangular intersection, it seems likely that the faces intersecting with the plane are three faces adjacent around a vertex. If three faces don’t meet at a vertex, their intersection might be empty or just an edge. The cube's face adjacency graph is actually an octahedron with triangular faces.

Clarifying triangle section in cube

The triangle section of a cube uses three faces that meet at a vertex and are pairwise adjacent. Each side of the triangle corresponds to a distinct face, as a plane intersects each face along a single line segment. Therefore, the triangle must use three adjacent faces that share edges.

Proving acute triangle section in cube

For a cube, any three pairwise adjacent faces meet at a common vertex. The plane intersects exactly three faces, hence cutting the three edges that meet at that vertex. Using coordinates (a,0,0), (0,b,0), and (0,0,c), we can show that all angles in the triangle are acute by calculating the squared lengths of the sides and demonstrating that no angle can be obtuse.

Thought for 3m 49s

Ответ

Нет. Если плоскость пересекает куб по треугольнику, то этот треугольник всегда остроугольный.

Почему треугольник обязательно “срезает угол”.
Каждая сторона сечения лежит на некоторой грани куба (пересечение плоскости с гранью — отрезок). У треугольника 3 стороны ⇒ плоскость пересекает ровно 3 грани. Эти 3 грани должны попарно иметь общие рёбра (ведь стороны треугольника встречаются в вершинах), а в кубе любые три попарно смежные грани сходятся в одной вершине. Значит, плоскость отсекает один угол куба и пересекает три рёбра, выходящие из одной вершины.

Теперь проверим углы.
Пусть эта общая вершина — OO, а плоскость пересекает три взаимно перпендикулярных ребра OX,OY,OZOX, OY, OZ в точках

A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),a,b,c>0.A(a,0,0),\quad B(0,b,0),\quad C(0,0,c), \qquad a,b,c>0.

Тогда

AB2=a2+b2,AC2=a2+c2,BC2=b2+c2.AB^2=a^2+b^2,\quad AC^2=a^2+c^2,\quad BC^2=b^2+c^2.

Чтобы угол при AA был тупым, нужно BC2>AB2+AC2BC^2>AB^2+AC^2. Но

AB2+AC2=(a2+b2)+(a2+c2)=b2+c2+2a2>b2+c2=BC2,AB^2+AC^2=(a^2+b^2)+(a^2+c^2)=b^2+c^2+2a^2> b^2+c^2=BC^2,

противоречие. Аналогично для углов при BB и CC. Значит, все три угла строго меньше 90∘90^\circ.

Итак, тупоугольный треугольник сечением куба быть не может (как и прямоугольный).

Поделиться этим Q&A