logoChat01.ai

Реши первые 2 номера используя разложение так по р...

Создано: 10 февраля 2026 г.

Отвечено с использованием GPT-5.2 Thinking от Chat01

Вопрос

Снимок экрана 2026-02-10 074156.pngСнимок экрана 2026-02-10 074156.png
Снимок экрана 2026-02-10 074044.pngСнимок экрана 2026-02-10 074044.png
Снимок экрана 2026-02-10 074025.pngСнимок экрана 2026-02-10 074025.png
Снимок экрана 2026-02-10 074600.pngСнимок экрана 2026-02-10 074600.png

Реши первые 2 номера используя разложение так по ряду тейлора подробно. 3 4 нарисуй график с помощью инструкции. 5 номер реши оптимизации через производную

Python

python
import sympy as sp
x=sp.Symbol('x')
expr1=((1+x)**(1/x)-sp.E)**2/(sp.log(x+sp.cos(x))-x)
sp.series(expr1, x, 0, 1)  # constant term


-exp(2)/4 + O(x)

Python

python
expr2=(sp.cosh(2*x)-(1+3*x)**(-sp.Rational(1,3))-x)/(x**2/2+sp.log(1+sp.tan(x))-sp.asin(x))
sp.series(expr2, x, 0, 1)


28/3 + O(x)

Python

python
y = x*sp.exp(1/x**2)
sp.simplify(sp.diff(y,x))


(x**2 - 2)*exp(x**(-2))/x**2

Python

python
y2=sp.simplify(sp.diff(y,x,2))
y2


2*(x**2 + 2)*exp(x**(-2))/x**5

Мысль

Analyzing concavity, asymptotes, and simplifying function 4

For the second derivative, y'' is positive for x>0 (concave up) and negative for x<0 (concave down). There’s no inflection point because of the discontinuity at 0. For asymptotes, there's a vertical one at x=0 and oblique ones as y=x as x -> ±∞.

Now, for the next function, simplifying y = cube root((sin x + cos x)/√2) to y = (sin(x + π/4))^(1/3), I note its derivative has a vertical tangent where sin(x) = 0. The graph is periodic with a steep curve near these zeros due to the infinite derivative at those points.

Analyzing function properties

This function is defined for all real values and is periodic with a period of 2π. It's neither even nor odd but can be shifted. For the given format, I’ll see it as y(x) = g(x + π/4), where g(t) = (sin t)^(1/3) is odd. I can identify local maxima, minima, and zeros. Zeros occur at x = -π/4 + πk. It’s continuous but not differentiable at zeros (because of infinite derivatives). I can easily plot this in Python and follow the user’s requests for detailed analysis and graph, avoiding humorous notes.

Breaking down tasks and next steps

Next, I'll compute the second limit (L2) using expansions. After that, I’ll analyze and plot y = x * e^(1/x^2) by checking its domain, symmetry, derivatives, concavity, and key points. Then, I’ll do the same for y = (sin(x + π/4))^(1/3). Lastly, I'll optimize the triangle area, show detailed expansions, and generate necessary plots using Python.

Thought for 3m 0s

Python

python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 3) y = x * exp(1/x^2)
x = np.linspace(-5, 5, 4000)
y = x * np.exp(1/(x**2))
# mask a small neighborhood around 0 to avoid overflow and the discontinuity
y[np.abs(x) < 0.2] = np.nan

plt.figure()
plt.axhline(0)
plt.axvline(0)
plt.plot(x, y, label='y = x e^{1/x^2}')
plt.plot(x, x, linestyle='--', label='y = x (наклонная асимптота)')
plt.ylim(-10, 10)
plt.xlim(-5, 5)
plt.legend()
plt.title('График: y = x e^{1/x^2} (с обрезкой по y для наглядности)')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.tight_layout()
plt.savefig('/mnt/data/graph3.png', dpi=200)
plt.show()

# 4) y = cbrt((sin x + cos x)/sqrt2) = cbrt(sin(x+pi/4))
x2 = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 4000)
y2 = np.cbrt((np.sin(x2)+np.cos(x2))/np.sqrt(2))

plt.figure()
plt.axhline(0)
plt.axvline(0)
plt.plot(x2, y2, label=r'$y=\sqrt[3]{(\sin x+\cos x)/\sqrt2}$')
plt.ylim(-1.2, 1.2)
plt.xlim(-2*np.pi, 2*np.pi)
plt.legend()
plt.title('График: y = ∛((sin x + cos x)/√2)')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.tight_layout()
plt.savefig('/mnt/data/graph4.png', dpi=200)
plt.show()

Python

python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x2 = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 4000)
y2 = np.cbrt((np.sin(x2)+np.cos(x2))/np.sqrt(2))

plt.figure()
plt.axhline(0)
plt.axvline(0)
plt.plot(x2, y2, label='y = cbrt((sin x + cos x)/sqrt(2))')
plt.ylim(-1.2, 1.2)
plt.xlim(-2*np.pi, 2*np.pi)
plt.legend()
plt.title('График: y = ∛((sin x + cos x)/√2)')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.tight_layout()
plt.savefig('/mnt/data/graph4.png', dpi=200)
plt.show()

Мысль

Outlining math reasoning for graph analysis

For the function y = x * e^(1/x^2):

  1. The domain is all real numbers except x = 0 since the function is undefined at x = 0.
  2. It's odd and has symmetry about the origin.
  3. It has no asymptotes, but it approaches ±∞ as x → ±∞.
  4. Derivative and critical points will help find monotonicity.
  5. Second derivative analysis gives concavity.
  6. I'll summarize intervals with a table.
  7. Key points include values at critical points and behavior at extremes. The range is (-∞, -√2 e^(1/2)] ∪ [√2 e^(1/2), ∞).

Breaking down the analysis for the function y=x * e^(1/x^2) and y=(sin(x+π/4))^(1/3)

The negative branch of y = x * e^(1/x^2) has a range of (-∞, -√2 e^(1/2)], while the positive branch has a range of [√2 e^(1/2), ∞). The function around 0 has a gap. For the other function y=(sin(x+π/4))^(1/3), the range is [-1, 1], and it’s periodic with a domain of all real numbers. The monotonicity is determined by analyzing its derivative in intervals based on the sign of sine and cosine.

Understanding monotonicity and function behavior

For the function based on the cube root, we determined that the monotonic pattern repeats. It increases when cosine is positive and decreases when cosine is negative. With the x-shift, the intervals for increasing/decreasing behavior are adjusted. There are extrema at points where cosine equals zero, with maxima and minima marked by sin(1) and sin(-1). The concavity is relevant but more calculation is needed. Now, I’ll focus on calculating the expansions for L1 with the correct coefficients.

Simplifying expansions and results

For my expansion of (1+x)^{1/x}, I simplified it down to e(-x/2 + 11/24 x^2 + O(x^3)), then squaring it, giving e^2 (x^2/4 + O(x^3)). The denominator part involves simplifying ln(x+cos x) - x, which ultimately yields a ratio of -e^2/4. Now, I'll continue showing the expansions for L2.

Simplifying optimization approach

I’m working through an optimization problem using multiple methods. First, I express the area as a function of one variable and solve for c using the law of cosines. Then, I introduce Lagrange multipliers to find the optimum at b = c. I’ll discuss derivatives more and address language concerns for clarity.

Thought for 1m 34s

Ответ

Ниже — вариант 26, №1–5.

1) lim⁡x→0((1+x)1/x−e)2ln⁡(x+cos⁡x)−x\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\big((1+x)^{1/x}-e\big)^2}{\ln(x+\cos x)-x}

Шаг 1. Разложим (1+x)1/x(1+x)^{1/x}

(1+x)1/x=exp⁡ ⁣(ln⁡(1+x)x).(1+x)^{1/x}=\exp\!\left(\frac{\ln(1+x)}{x}\right).

Ряд:

ln⁡(1+x)=x−x22+x33+O(x4).\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+O(x^4).

Делим на xx:

ln⁡(1+x)x=1−x2+x23+O(x3).\frac{\ln(1+x)}{x}=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+O(x^3).

Тогда

(1+x)1/x=e⋅exp⁡ ⁣(−x2+x23+O(x3)).(1+x)^{1/x}=e\cdot \exp\!\left(-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+O(x^3)\right).

Обозначим φ=−x2+x23+O(x3)\varphi=-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+O(x^3). Тогда

eφ=1+φ+φ22+O(x3).e^\varphi = 1+\varphi+\frac{\varphi^2}{2}+O(x^3).

Считаем до x2x^2:

φ=−x2+x23+O(x3),φ22=12⋅x24+O(x3)=x28+O(x3).\varphi=-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+O(x^3),\qquad \frac{\varphi^2}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{4}+O(x^3)=\frac{x^2}{8}+O(x^3).

Значит

eφ=1−x2+(x23+x28)+O(x3)=1−x2+1124x2+O(x3).e^\varphi = 1-\frac{x}{2}+\left(\frac{x^2}{3}+\frac{x^2}{8}\right)+O(x^3) =1-\frac{x}{2}+\frac{11}{24}x^2+O(x^3).

Итого:

(1+x)1/x−e=e(−x2+1124x2+O(x3)).(1+x)^{1/x}-e = e\left(-\frac{x}{2}+\frac{11}{24}x^2+O(x^3)\right).

Квадрат:

((1+x)1/x−e)2=e2(x24+O(x3)).\big((1+x)^{1/x}-e\big)^2 = e^2\left(\frac{x^2}{4}+O(x^3)\right).

Шаг 2. Разложим знаменатель ln⁡(x+cos⁡x)−x\ln(x+\cos x)-x

cos⁡x=1−x22+O(x4),\cos x = 1-\frac{x^2}{2}+O(x^4), x+cos⁡x=1+(x−x22+O(x3))⏟u.x+\cos x = 1 + \underbrace{\left(x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)\right)}_{u}.

Тогда

ln⁡(1+u)=u−u22+O(u3).\ln(1+u)=u-\frac{u^2}{2}+O(u^3).

Причём u=x−x22+O(x3)u=x-\frac{x^2}{2}+O(x^3), u2=x2+O(x3)u^2=x^2+O(x^3). Поэтому

ln⁡(x+cos⁡x)=(x−x22)−x22+O(x3)=x−x2+O(x3).\ln(x+\cos x)=\left(x-\frac{x^2}{2}\right)-\frac{x^2}{2}+O(x^3) = x-x^2+O(x^3).

Значит

ln⁡(x+cos⁡x)−x=−x2+O(x3).\ln(x+\cos x)-x = -x^2+O(x^3).

Шаг 3. Делим

e2(x24+O(x3))−x2+O(x3)→−e24.\frac{e^2\left(\frac{x^2}{4}+O(x^3)\right)}{-x^2+O(x^3)} \to -\frac{e^2}{4}.

✅ Ответ: −e24\boxed{-\dfrac{e^2}{4}}.

2) lim⁡x→0ch⁡2x−(1+3x)−1/3−xx2/2+ln⁡(1+tg⁡x)−arcsin⁡x\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{ch}2x-(1+3x)^{-1/3}-x}{x^2/2+\ln(1+\tg x)-\arcsin x}

Числитель

ch⁡2x=cosh⁡(2x)=1+(2x)22!+O(x4)=1+2x2+O(x4).\operatorname{ch}2x=\cosh(2x)=1+\frac{(2x)^2}{2!}+O(x^4)=1+2x^2+O(x^4).

Бином:

(1+3x)−1/3=1+α(3x)+α(α−1)2(3x)2+α(α−1)(α−2)6(3x)3+O(x4),(1+3x)^{-1/3}=1+\alpha(3x)+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}(3x)^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{6}(3x)^3+O(x^4),

где α=−13\alpha=-\frac13.

Считаем коэффициенты:

  • α(3x)=(−13)3x=−x\alpha(3x)=(-\tfrac13)3x=-x
  • α(α−1)2(3x)2=(−13)(−43)2⋅9x2=4/92⋅9x2=2x2\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}(3x)^2=\frac{(-\tfrac13)(-\tfrac43)}{2}\cdot 9x^2=\frac{4/9}{2}\cdot 9x^2=2x^2
  • (\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{6}(3x)^3=\frac{(-\tfrac13)(-\tfrac43)(-\tfrac73)}{6}\cdot 27x^3 =\frac{-28/27}{6}\cdot 27x^3=-\frac{14}{3}x^3)

Итак:

(1+3x)−1/3=1−x+2x2−143x3+O(x4).(1+3x)^{-1/3}=1-x+2x^2-\frac{14}{3}x^3+O(x^4).

Тогда числитель:

(1+2x2)−(1−x+2x2−143x3)−x=143x3+O(x4).(1+2x^2)-(1-x+2x^2-\tfrac{14}{3}x^3)-x = \frac{14}{3}x^3+O(x^4).

Знаменатель

tan⁡x=x+x33+O(x5).\tan x = x+\frac{x^3}{3}+O(x^5).

Пусть v=tan⁡x=x+x33+O(x5)v=\tan x = x+\frac{x^3}{3}+O(x^5). Тогда

ln⁡(1+v)=v−v22+v33+O(x4).\ln(1+v)=v-\frac{v^2}{2}+\frac{v^3}{3}+O(x^4).

До x3x^3: v2=x2+O(x4)v^2=x^2+O(x^4), v3=x3+O(x5)v^3=x^3+O(x^5), значит

ln⁡(1+tan⁡x)=(x+x33)−x22+x33+O(x4)=x−x22+23x3+O(x4).\ln(1+\tan x)=\left(x+\frac{x^3}{3}\right)-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+O(x^4) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{2}{3}x^3+O(x^4).

Также

arcsin⁡x=x+x36+O(x5).\arcsin x = x+\frac{x^3}{6}+O(x^5).

Теперь знаменатель:

x22+(x−x22+23x3)−(x+x36)+O(x4)=(23−16)x3+O(x4)=12x3+O(x4).\frac{x^2}{2}+\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{2}{3}x^3\right)-\left(x+\frac{x^3}{6}\right)+O(x^4) =\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{6}\right)x^3+O(x^4) =\frac12 x^3+O(x^4).

Делим

143x3+O(x4)12x3+O(x4)→14/31/2=283.\frac{\frac{14}{3}x^3+O(x^4)}{\frac12 x^3+O(x^4)}\to \frac{14/3}{1/2}=\frac{28}{3}.

✅ Ответ: 283\boxed{\dfrac{28}{3}}.

3) График y=xe1/x2y= x e^{1/x^2} (по схеме)

1) Область определения

D=R∖{0}.D=\mathbb{R}\setminus\{0\}.

2) Свойства

  • e1/x2>0e^{1/x^2}>0, значит sign⁡(y)=sign⁡(x)\operatorname{sign}(y)=\operatorname{sign}(x) ⇒ нулей нет.

f(-x)=-x e^{1/x^2}=-f(x)\Rightarrow \text{функция нечётная.}

### 3) Асимптоты - При $x\to 0^+$: $e^{1/x^2}\to\infty\Rightarrow y\to+\infty$. - При $x\to 0^-$: $y\to-\infty$. ⇒ **вертикальная асимптота**: $x=0$. Наклонная:

k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim e^{1/x^2}=1,\quad b=\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-x)=\lim x(e^{1/x^2}-1)=0.

⇒ **наклонная асимптота**: $\boxed{y=x}$. ### 5) Производная и экстремумы

f'(x)=\frac{(x^2-2)}{x^2}e^{1/x^2}.

$e^{1/x^2}>0$, $x^2>0$ ⇒ знак $f'(x)$ как у $(x^2-2)$. Критические точки: $x=\pm\sqrt2$. - На $(0,\sqrt2)$: $x^2-2<0$ ⇒ убывает - На $(\sqrt2,\infty)$: $x^2-2>0$ ⇒ возрастает ⇒ **минимум** при $x=\sqrt2$:

y_{\min}=\sqrt2,e^{1/2}.

- На $(-\infty,-\sqrt2)$: возрастает - На $(-\sqrt2,0)$: убывает ⇒ **максимум** при $x=-\sqrt2$:

y_{\max}=-\sqrt2,e^{1/2}.

### 6) Вторая производная (выпуклость)

f''(x)=\frac{2(x^2+2)}{x^5}e^{1/x^2}.

Числитель $>0$, $e^{1/x^2}>0$, знак зависит от $x^5$: - при $x>0$: $f''>0$ (выпукла вверх), - при $x<0$: $f''<0$ (выпукла вниз). Точек перегиба нет (в $0$ разрыв). 📌 **Ключевой вид:** две ветви, при $x\to0$ уходят в $\pm\infty$; при больших $|x|$ почти совпадают с прямой $y=x$. График: [Скачать график №3](https://files.chat01.ai/python-generations/ee46b921-171a-49cb-be37-1bb37953da8c/graph3.png) --- ## 4) График $\displaystyle y=\sqrt[3]{\frac{\sin x+\cos x}{\sqrt2}}$ (по схеме) Упростим:

\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) \Rightarrow \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt2}=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).

ЗначитЗначит

y=\sqrt[3]{\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}.

### 1) Область определения и значения

D=\mathbb{R}.

Так как $\sin(\cdot)\in[-1,1]$ и кубический корень сохраняет границы:

E=[-1,1].

### 2) Свойства - **Периодичность:** период $\boxed{2\pi}$. - Чётности/нечётности нет (из-за сдвига на $\pi/4$). ### 3) Непрерывность, асимптоты Функция непрерывна при всех $x$. Асимптот нет (ограничена). ### 5) Производная и монотонность (где определена)

y'=\frac{1}{3}\left(\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right)^{-2/3}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right).

В точках, где $\sin(x+\pi/4)=0$, производная **не существует** (вертикальная касательная). Знак $y'$ (где $\sin\ne0$) определяется $\cos(x+\pi/4)$: - возрастает при $\cos(x+\pi/4)>0$, то есть

x\in\left(-\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\ \frac{\pi}{4}+2\pi k\right);

−убываетпри- убывает при

x\in\left(\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ \frac{5\pi}{4}+2\pi k\right).

### Экстремумы и нули - Максимумы: $\sin(x+\pi/4)=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+2\pi k$, $y=1$. - Минимумы: $\sin(x+\pi/4)=-1 \Rightarrow x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k$, $y=-1$. - Нули: $\sin(x+\pi/4)=0 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi k$. График: [Скачать график №4](https://files.chat01.ai/python-generations/ee46b921-171a-49cb-be37-1bb37953da8c/graph4.png) --- ## 5) Оптимизация: треугольник $ABC$ максимальной площади, если задано $BC=a$ и $\angle BAC=\alpha$ Пусть

AB=c,\quad AC=b,\quad \angle A=\alpha,\quad BC=a\ (\text{фиксированы }a,\alpha).

Площадь:Площадь:

S=\frac12,bc\sin\alpha.

Так как $\sin\alpha$ фиксирован, нужно **максимизировать произведение $bc$** при условии связи сторон. По теореме косинусов:

a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha.

### Метод Лагранжа (через производные) Максимизируем $F(b,c)=bc$ при ограничении

g(b,c)=b^2+c^2-2bc\cos\alpha-a^2=0.

\nabla F=\lambda \nabla g.

Тоесть:То есть:

\frac{\partial F}{\partial b}=c=\lambda(2b-2c\cos\alpha),

\frac{\partial F}{\partial c}=b=\lambda(2c-2b\cos\alpha).

Делимпервоенавторое:Делим первое на второе:

\frac{c}{b}=\frac{2b-2c\cos\alpha}{2c-2b\cos\alpha}.

Обозначим $r=\frac{b}{c}$. Тогда:

\frac{1}{r}=\frac{r-\cos\alpha}{1-r\cos\alpha} \Rightarrow 1-r\cos\alpha=r^2-r\cos\alpha \Rightarrow r^2=1 \Rightarrow r=1 \ (\text{т.к. }b,c>0).

Значит $\boxed{b=c}$, то есть $\boxed{AB=AC}$ — треугольник равнобедренный с основанием $BC$. Тогда углы при основании равны:

\angle B=\angle C=\frac{\pi-\alpha}{2}.

✅ **Ответ:** $\boxed{\angle A=\alpha,\ \angle B=\angle C=\dfrac{\pi-\alpha}{2}}$ (или в градусах: $B=C=\dfrac{180^\circ-\alpha}{2}$). --- Если хочешь, могу для графиков ещё составить **таблицу промежутков возрастания/убывания и выпуклости** (как в пункте 7 схемы).

Вопрос

Ответ выведен некорректно

Python

python
import sympy as sp
x=sp.Symbol('x')
expr1=(( (1+x)**(1/x) - sp.E )**2)/(sp.log(x+sp.cos(x)) - x)
sp.limit(expr1, x, 0)


-exp(2)/4

Python

python
expr2=(sp.cosh(2*x) - (1+3*x)**(-sp.Rational(1,3)) - x)/(x**2/2 + sp.log(1+sp.tan(x)) - sp.asin(x))
sp.limit(expr2, x, 0)


28/3

Python

python
x=sp.Symbol('x')
f=x*sp.exp(1/x**2)
sp.simplify(sp.diff(f,x,2))


2*(x**2 + 2)*exp(x**(-2))/x**5

Мысль

Verifying function and addressing user feedback

For #4, I confirmed that the derivative of y=(sin⁡(x+π/4))1/3y = (\sin(x + \pi/4))^{1/3} is correct: (1/3)(sin⁡(x+π/4))−2/3⋅cos⁡(x)(1/3)(\sin(x + \pi/4))^{-2/3} \cdot \cos(x). I also noted that the derivative is infinite at the zeros of sine due to the cube root.

For the earlier task, I verified that the asymptotic calculation for #3 holds. The only issue seems to be some incorrectly provided links, which I'll correct.

Addressing previous issue and generating correct plots

I need to apologize for the previous mistake. The charts weren't generated as expected, so I will correct that now using actual plots. On top of that, I'll provide the final "Ответ" lines as requested. I’ll ensure both radian and degree versions of the answer are included. I'll also carefully craft the plots to meet the specifications, such as appropriate y-limits and intervals.

Creating the plot and following guidelines

I’m thinking of using one plot with defined y-limits and a vertical line at x=0. I’ll split the x-range into two intervals to avoid the divergence issue. I'll add a dashed line to represent the asymptote at x=0 and y=x. I'll stick to the default color system and avoid specifying any colors directly, as per the guidelines.

Thought for 1m 49s

Python

python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# --- Graph 3: y = x * e^{1/x^2} ---
def f3(x):
    return x * np.exp(1/(x**2))

x1 = np.linspace(-4, -0.2, 2000)
x2 = np.linspace(0.2, 4, 2000)

plt.figure(figsize=(7,4.5))
plt.plot(x1, f3(x1), label=r"$y=x e^{1/x^2}$")
plt.plot(x2, f3(x2))
# asymptotes
x_as = np.linspace(-4, 4, 400)
plt.plot(x_as, x_as, linestyle="--", label=r"asymptote $y=x$")
plt.axvline(0, linestyle="--", label=r"asymptote $x=0$")
plt.ylim(-20, 20)
plt.xlim(-4, 4)
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.title(r"Graph 3: $y=x e^{1/x^2}$ (with asymptotes)")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
path3 = "/mnt/data/graph3.png"
plt.tight_layout()
plt.savefig(path3, dpi=200)
plt.close()

# --- Graph 4: y = cbrt((sin x + cos x)/sqrt(2)) = cbrt(sin(x+pi/4)) ---
x = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 4000)
y4 = np.cbrt(np.sin(x + np.pi/4))

plt.figure(figsize=(7,4.5))
plt.plot(x, y4, label=r"$y=\sqrt[3]{\frac{\sin x+\cos x}{\sqrt2}}=\sqrt[3]{\sin(x+\pi/4)}$")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.title("Graph 4")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
path4 = "/mnt/data/graph4.png"
plt.tight_layout()
plt.savefig(path4, dpi=200)
plt.close()

path3, path4

Python

python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# --- Graph 3: y = x * e^{1/x^2} ---
def f3(x):
    return x * np.exp(1/(x**2))

x1 = np.linspace(-4, -0.2, 2000)
x2 = np.linspace(0.2, 4, 2000)

plt.figure(figsize=(7,4.5))
plt.plot(x1, f3(x1), label=r"$y=x e^{1/x^2}$")
plt.plot(x2, f3(x2))
# asymptotes
x_as = np.linspace(-4, 4, 400)
plt.plot(x_as, x_as, linestyle="--", label=r"asymptote $y=x$")
plt.axvline(0, linestyle="--", label=r"asymptote $x=0$")
plt.ylim(-20, 20)
plt.xlim(-4, 4)
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.title(r"Graph 3: $y=x e^{1/x^2}$")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
path3 = "/mnt/data/graph3.png"
plt.tight_layout()
plt.savefig(path3, dpi=200)
plt.close()

# --- Graph 4: y = cbrt((sin x + cos x)/sqrt(2)) = cbrt(sin(x+pi/4)) ---
x = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 4000)
y4 = np.cbrt(np.sin(x + np.pi/4))

plt.figure(figsize=(7,4.5))
plt.plot(
    x, y4,
    label=r"$y=\sqrt[3]{\frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{2}}}=\sqrt[3]{\sin(x+\pi/4)}$"
)
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.title("Graph 4")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
path4 = "/mnt/data/graph4.png"
plt.tight_layout()
plt.savefig(path4, dpi=200)
plt.close()

path3, path4


('/mnt/data/graph3.png', '/mnt/data/graph4.png')

Мысль

Providing final answers and corrected graphs

I’ll share the corrected charts with the proper links. It seems the user wanted to see the final numeric answers for limits and angles, with no approximations or extra steps. I’ll clarify any confusion about my use of notation, and ensure to provide full expansions, ensuring all details are carefully addressed, including graph sketches.

Thought for 41s

Ответ

Да, у меня некорректно вывелись графики (я дал несуществующие ссылки). По самим пределам и оптимизации ответы верные — ниже даю корректный итог и нормальные файлы графиков.

№1

lim⁡x→0((1+x)1/x−e)2ln⁡(x+cos⁡x)−x\lim_{x\to 0}\frac{\big((1+x)^{1/x}-e\big)^2}{\ln(x+\cos x)-x}

Числитель.

(1+x)1/x=eln⁡(1+x)/x,ln⁡(1+x)=x−x22+x33+O(x4)(1+x)^{1/x}=e^{\ln(1+x)/x},\quad \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+O(x^4) ln⁡(1+x)x=1−x2+x23+O(x3)\frac{\ln(1+x)}{x}=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+O(x^3) (1+x)1/x=e⋅e−x2+x23+O(x3)(1+x)^{1/x}=e\cdot e^{-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+O(x^3)} e−x2+x23=1−x2+(13+18)x2+O(x3)=1−x2+1124x2+O(x3)e^{-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}}=1-\frac{x}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{8}\right)x^2+O(x^3) =1-\frac{x}{2}+\frac{11}{24}x^2+O(x^3) (1+x)1/x−e=e(−x2+1124x2+O(x3))(1+x)^{1/x}-e=e\left(-\frac{x}{2}+\frac{11}{24}x^2+O(x^3)\right) ((1+x)1/x−e)2=e2(x24+O(x3))\big((1+x)^{1/x}-e\big)^2=e^2\left(\frac{x^2}{4}+O(x^3)\right)

Знаменатель.

cos⁡x=1−x22+O(x4)⇒x+cos⁡x=1+(x−x22+O(x3))=1+u\cos x=1-\frac{x^2}{2}+O(x^4)\Rightarrow x+\cos x=1+\left(x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)\right)=1+u

где u=x−x22+O(x3)u=x-\frac{x^2}{2}+O(x^3).

ln⁡(1+u)=u−u22+O(u3)\ln(1+u)=u-\frac{u^2}{2}+O(u^3) u2=x2+O(x3)⇒ln⁡(x+cos⁡x)=x−x22−x22+O(x3)=x−x2+O(x3)u^2=x^2+O(x^3)\Rightarrow \ln(x+\cos x)=x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^2}{2}+O(x^3)=x-x^2+O(x^3) ln⁡(x+cos⁡x)−x=−x2+O(x3)\ln(x+\cos x)-x=-x^2+O(x^3)

Предел:

e2(x24+O(x3))−x2+O(x3)→−e24\frac{e^2(\frac{x^2}{4}+O(x^3))}{-x^2+O(x^3)}\to -\frac{e^2}{4}

✅ Ответ №1: −e24\boxed{-\dfrac{e^2}{4}}

№2

lim⁡x→0ch⁡2x−(1+3x)−1/3−xx2/2+ln⁡(1+tg⁡x)−arcsin⁡x\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{ch}2x-(1+3x)^{-1/3}-x}{x^2/2+\ln(1+\tg x)-\arcsin x}

Числитель.

cosh⁡(2x)=1+(2x)22+O(x4)=1+2x2+O(x4)\cosh(2x)=1+\frac{(2x)^2}{2}+O(x^4)=1+2x^2+O(x^4)

Бином при α=−13\alpha=-\frac13:

(1+3x)−1/3=1−x+2x2−143x3+O(x4)(1+3x)^{-1/3}=1-x+2x^2-\frac{14}{3}x^3+O(x^4)

Тогда:

(1+2x2)−(1−x+2x2−143x3)−x=143x3+O(x4)(1+2x^2)-\left(1-x+2x^2-\frac{14}{3}x^3\right)-x =\frac{14}{3}x^3+O(x^4)

Знаменатель.

tan⁡x=x+x33+O(x5)\tan x=x+\frac{x^3}{3}+O(x^5) ln⁡(1+tan⁡x)=(x+x33)−x22+x33+O(x4)=x−x22+23x3+O(x4)\ln(1+\tan x)=\left(x+\frac{x^3}{3}\right)-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+O(x^4) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{2}{3}x^3+O(x^4) arcsin⁡x=x+x36+O(x5)\arcsin x=x+\frac{x^3}{6}+O(x^5) x22+ln⁡(1+tan⁡x)−arcsin⁡x=x22+(x−x22+23x3)−(x+x36)+O(x4)=12x3+O(x4)\frac{x^2}{2}+\ln(1+\tan x)-\arcsin x =\frac{x^2}{2}+\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{2}{3}x^3\right)-\left(x+\frac{x^3}{6}\right)+O(x^4) =\frac12 x^3+O(x^4)

Предел:

143x3+O(x4)12x3+O(x4)→283\frac{\frac{14}{3}x^3+O(x^4)}{\frac12 x^3+O(x^4)}\to \frac{28}{3}

✅ Ответ №2: 283\boxed{\dfrac{28}{3}}

№3 График y=xe1/x2y=x e^{1/x^2} (по схеме)

  • D=R∖{0}D=\mathbb R\setminus\{0\}, функция нечётная.
  • Вертикальная асимптота: x=0x=0.
  • Наклонная асимптота: y=xy=x (так как lim⁡f(x)/x=1, lim⁡(f(x)−x)=0\lim f(x)/x=1,\ \lim(f(x)-x)=0).

f'(x)=e^{1/x^2}\frac{x^2-2}{x^2} \Rightarrow \text{критич. } x=\pm\sqrt2

Максимум при $x=-\sqrt2$, минимум при $x=\sqrt2$. ✅ График №3: **[скачать](https://files.chat01.ai/python-generations/b68a1005-decc-46ec-9d1a-b95f13e3b5a4/graph3.png)** --- ## №4 График $\displaystyle y=\sqrt[3]{\frac{\sin x+\cos x}{\sqrt2}}$

\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) \Rightarrow y=\sqrt[3]{\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}

- $D=\mathbb R$, $E=[-1,1]$, период $2\pi$. - Нули: $x=-\frac{\pi}{4}+\pi k$. - Макс: $x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ y=1$; мин: $x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k,\ y=-1$. - В точках нулей синуса — вертикальные касательные (производная не существует). ✅ График №4: **[скачать](https://files.chat01.ai/python-generations/b68a1005-decc-46ec-9d1a-b95f13e3b5a4/graph4.png)** --- ## №5 Оптимизация площади Дано: $BC=a$ фиксировано, $\angle A=\alpha$ фиксирован.

S=\frac12 AB\cdot AC\cdot \sin\alpha

При фиксированном $\alpha$ нужно максимизировать $AB\cdot AC$ при фиксированном $BC$. Из условия максимума (через производные/Лагранжа) получается $\boxed{AB=AC}$, то есть треугольник **равнобедренный**. Тогда углы при основании равны:

\boxed{\angle B=\angle C=\frac{\pi-\alpha}{2}}

✅ **Ответ №5:** $\boxed{A=\alpha,\ B=C=\dfrac{\pi-\alpha}{2}}$ (или $B=C=\dfrac{180^\circ-\alpha}{2}$). --- Если скажешь, что именно у тебя “не сходится” (№1/№2/№5 или именно графики), я точечно проверю этот момент.

Вопрос

В 3 номере напиши непрерывность а в 4 даже если нет асимптот распиши это

Мысль

Explaining function continuity and asymptotes

I need to answer the question in Russian, discussing the continuity of the function y=xe1/x2y = x e^{1/x^2} and its asymptotes. I'll explain that the function is continuous on intervals (−∞,0)(-∞,0) and (0,∞)(0,∞), with a discontinuity at 0 (not removable, infinite). As for the second function, y=sin⁡x+cos⁡x23y = \sqrt[3]{\frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2}}}, it’s continuous everywhere due to being a composition of continuous functions.

Thought for 7s

Ответ

Ок — дописываю по схеме пункты про непрерывность и асимптоты.

№3) y=x e1/x2y= x\,e^{1/x^{2}}

Непрерывность (п.3 схемы)

  • Область определения: D=R∖{0}D=\mathbb{R}\setminus\{0\}.
  • На каждом из промежутков (−∞,0)(-\infty,0) и (0,∞)(0,\infty) функция — произведение непрерывных функций xx и e1/x2e^{1/x^2}, значит
f(x) непрерывна на (−∞,0) и (0,∞).f(x)\ \text{непрерывна на}\ (-\infty,0)\ \text{и}\ (0,\infty).
  • В точке x=0x=0 функция не определена, и при этом имеет бесконечный разрыв:
lim⁡x→0+xe1/x2=+∞,lim⁡x→0−xe1/x2=−∞.\lim_{x\to 0+} x e^{1/x^2}=+\infty,\qquad \lim_{x\to 0-} x e^{1/x^2}=-\infty.

Значит в x=0x=0 — разрыв второго рода (бесконечный), и x=0x=0 — вертикальная асимптота.

№4) y=sin⁡x+cos⁡x23\displaystyle y=\sqrt[3]{\frac{\sin x+\cos x}{\sqrt2}}

Удобно упростить:

sin⁡x+cos⁡x=2sin⁡ ⁣(x+π4)⇒y=sin⁡ ⁣(x+π4)3.\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right) \Rightarrow y=\sqrt[3]{\sin\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}.

Непрерывность (п.3 схемы)

  • sin⁡(⋅)\sin(\cdot) непрерывна на R\mathbb{R}.
  • Кубический корень t3\sqrt[3]{t} непрерывен на всей R\mathbb{R}.
  • Композиция непрерывных функций непрерывна ⇒
D=R,f(x) непрерывна при всех x∈R.D=\mathbb{R},\qquad f(x)\ \text{непрерывна при всех}\ x\in\mathbb{R}.

Асимптоты (п.4 схемы) — расписываю, даже если их нет

  1. Вертикальные асимптоты.
    Вертикальная асимптота x=ax=a возможна, если lim⁡x→af(x)=±∞\lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty.
    Но здесь sin⁡(⋅)∈[−1,1]\sin(\cdot)\in[-1,1], значит
y=sin⁡(⋅)3∈[−1,1],y=\sqrt[3]{\sin(\cdot)}\in[-1,1],

то есть функция ограничена и ни при каком конечном aa не может уходить в ±∞\pm\infty.
⇒ Вертикальных асимптот нет.

  1. Горизонтальные асимптоты.
    Горизонтальная асимптота y=by=b означает lim⁡x→∞f(x)=b\lim_{x\to\infty} f(x)=b (или при x→−∞x\to-\infty).
    Но функция периодическая с периодом 2π2\pi и не является константой, поэтому предел при x→∞x\to\infty не существует (значения повторяются и колеблются).
    ⇒ Горизонтальных асимптот нет.

  2. Наклонные (косые) асимптоты y=kx+by=kx+b.
    Если бы такая была, то обязательно существовал бы предел

k=lim⁡x→∞f(x)x.k=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}.

Так как f(x)f(x) ограничена, то f(x)x→0\frac{f(x)}{x}\to 0, значит k=0k=0. Тогда “наклонная” сводится к горизонтальной y=by=b, а её нет (предела нет).
⇒ Наклонных асимптот нет.

Если хочешь, я в №4 ещё отдельно отмечу: производная не существует в точках sin⁡(x+π/4)=0\sin(x+\pi/4)=0 (там вертикальная касательная), но непрерывность сохраняется.

Вопрос

В 4 номере выпуклость вогнутость сделай

Мысль

Analyzing concavity and convexity of y = cbrt((sin x + cos x)/sqrt(2))

I want to determine the concavity and convexity intervals for the function y = cbrt(sin(x + π/4)). For that, I’ll calculate the first and second derivatives, looking for critical points and where the second derivative might diverge. After breaking the problem into simpler parts, I’ll compute the intervals where f'' exists and change sign.

Deriving the second derivative and analyzing sign

To compute f'', I started with f' = (1/3) c * s^(-2/3). Then, after taking the derivative, I simplified f'' = -(1/3) s^(1/3) - (2/9) c² s^(-5/3). Now, I need to analyze the sign of f''. Notably, both terms depend on s, and its sign will influence the final result.

Determining concavity and inflection points

The concavity of the function depends on the sign of sin(u), affecting f''. Since both terms have the opposite sign of s, we know that f'' is negative when s > 0 and positive when s < 0. At points where sin(u) = 0, f'' is undefined, creating vertical tangents and potential inflection points where concavity changes. Since f is continuous at these points, it may be considered an inflection point.

Handling inflection points and concavity intervals

I’m considering the points of inflection where f'' doesn’t exist. These occur at x = -π/4 + πk, where sin(u) changes sign. The intervals for concavity are determined by sin(u) being positive or negative, leading to concave down (f'' < 0) or convex up (f'' > 0), with the signs changing at specific x-values.

Thought for 47s

Ответ

Сделаем выпуклость/вогнутость для №4:

y=sin⁡x+cos⁡x23=sin⁡ ⁣(x+π4)3.y=\sqrt[3]{\frac{\sin x+\cos x}{\sqrt2}} =\sqrt[3]{\sin\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}.

Обозначим u=x+π4u=x+\frac{\pi}{4}, s=sin⁡us=\sin u, c=cos⁡uc=\cos u. Тогда y=s1/3y=s^{1/3}.

Вторая производная и знак y′′y''

1) Первая производная (при s≠0s\neq 0)

y′=13s−2/3⋅s′=13s−2/3⋅c=c3 s2/3.y'=\frac{1}{3}s^{-2/3}\cdot s'=\frac{1}{3}s^{-2/3}\cdot c =\frac{c}{3\,s^{2/3}}.

В точках s=0s=0 производная не существует (вертикальная касательная).

2) Вторая производная (при s≠0s\neq 0)

Дифференцируем:

y′=13c s−2/3.y'=\frac{1}{3}c\,s^{-2/3}. y′′=13(c′ s−2/3+c (s−2/3)′).y''=\frac{1}{3}\Big(c'\,s^{-2/3}+c\,(s^{-2/3})'\Big). c′=−s,(s−2/3)′=−23s−5/3⋅s′=−23s−5/3⋅c.c'=-s,\qquad (s^{-2/3})'=-\frac{2}{3}s^{-5/3}\cdot s'=-\frac{2}{3}s^{-5/3}\cdot c.

Подставляем:

y′′=13((−s)s−2/3+c(−23s−5/3c))=13(−s1/3−23c2s5/3).y''=\frac{1}{3}\left((-s)s^{-2/3}+c\left(-\frac{2}{3}s^{-5/3}c\right)\right) =\frac{1}{3}\left(-s^{1/3}-\frac{2}{3}\frac{c^2}{s^{5/3}}\right).

То есть

 y′′=−13s1/3−29c2s5/3 ,s=sin⁡ ⁣(x+π4), s≠0.\boxed{\,y''=-\frac{1}{3}s^{1/3}-\frac{2}{9}\frac{c^2}{s^{5/3}}\,},\qquad s=\sin\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right),\ s\neq 0.

3) Знак y′′y''

Заметим: s1/3s^{1/3} имеет знак ss, и 1s5/3\dfrac{1}{s^{5/3}} тоже имеет знак ss (потому что s5/3=s⋅s2/3s^{5/3}=s\cdot s^{2/3}, а s2/3>0s^{2/3}>0).
Обе слагаемые в формуле для y′′y'' стоят со знаком «минус», значит:

  • если s>0s>0, то y′′<0y''<0;
  • если s<0s<0, то y′′>0y''>0.

Итак:

 y′′<0 там, где sin⁡ ⁣(x+π4)>0 \boxed{\ y''<0 \ \text{там, где}\ \sin\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right)>0\ }  y′′>0 там, где sin⁡ ⁣(x+π4)<0 \boxed{\ y''>0 \ \text{там, где}\ \sin\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right)<0\ }

Промежутки выпуклости/вогнутости

Нули синуса:

sin⁡ ⁣(x+π4)=0  ⟺  x=−π4+πk, k∈Z.\sin\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0 \iff x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.

На этих точках y′′y'' (и y′y') не существует.

Где sin⁡(u)>0\sin(u)>0

u∈(2πk, π+2πk) ⇒ x∈(−π4+2πk, 3π4+2πk)u\in(2\pi k,\ \pi+2\pi k)\ \Rightarrow\ x\in\left(-\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ \frac{3\pi}{4}+2\pi k\right)

Там y′′<0y''<0 ⇒ выпукла вниз (вогнута):

 выпукла вниз на (−π4+2πk, 3π4+2πk). \boxed{\,\text{выпукла вниз на }\left(-\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ \frac{3\pi}{4}+2\pi k\right).\,}

Где sin⁡(u)<0\sin(u)<0

u∈(π+2πk, 2π+2πk) ⇒ x∈(3π4+2πk, 7π4+2πk)u\in(\pi+2\pi k,\ 2\pi+2\pi k)\ \Rightarrow\ x\in\left(\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\ \frac{7\pi}{4}+2\pi k\right)

Там y′′>0y''>0 ⇒ выпукла вверх:

 выпукла вверх на (3π4+2πk, 7π4+2πk). \boxed{\,\text{выпукла вверх на }\left(\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\ \frac{7\pi}{4}+2\pi k\right).\,}

Точки перегиба

Смена знака y′′y'' происходит при переходе через точки, где sin⁡(u)=0\sin(u)=0, то есть

 x=−π4+πk,y=0 .\boxed{\,x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad y=0\,}.

Важно: в этих точках вторая производная не существует, но выпуклость меняется, поэтому это точки перегиба (в смысле смены выпуклости).

Если хочешь — оформлю это как табличку “интервал — знак y′′y'' — выпуклость”, как обычно требуют по схеме.

Поделиться этим Q&A