logoChat01.ai

Максим выбрал n подряд идущих чисел, возвёл каждое...

Создано: 10 января 2026 г.

Отвечено с использованием GPT-5.2 Thinking от Chat01

Вопрос

Максим выбрал n подряд идущих чисел, возвёл каждое в квадрат и сложил. Оказалось, что полученная сумма оканчивается на цифру 8. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из выбранных чисел, если известно, что n>772.

Python

python
f=[(d*d)%10 for d in range(10)]
f


[0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1]

Python

python
def remsum(a,r):
    return sum(f[(a+i)%10] for i in range(r))%10
for a in range(10):
    print(a, remsum(a,3))

Python

python
from math import inf
def min_L_for_n(n):
    m,r=divmod(n,10)
    base=(5*(m%2))%10  # since 5m mod10
    # want base + remsum(a,r) == 8 mod10
    target=(8 - base)%10
    best=inf
    besta=None
    for a in range(10):
        if remsum(a,r)==target:
            # minimal positive k with k mod10 = a
            if a==0:
                k=10
            else:
                k=a
            L=k+n-1
            if L<best:
                best=L; besta=a
    return best, besta, target, (m%2,r)
best_global=(inf,None,None,None)
for n in range(773,900):
    L,besta,t,info=min_L_for_n(n)
    if L<best_global[0]:
        best_global=(L,n,besta,info)
best_global


(778, 777, 2, (1, 7))

Python

python
def exists_for_L(L):
    for n in range(773,L+1):
        k=L-n+1
        # compute condition mod10 quickly using periodic method
        m,r=divmod(n,10)
        base=(5*(m%2))%10
        if (base + remsum(k%10,r))%10==8:
            return True,n,k
    return False,None,None
for L in range(773,778):
    print(L, exists_for_L(L))

Python

python
n=777;k=2
# compute actual last digit using modular arithmetic
S=sum(((k+i)**2)%10 for i in range(n))%10
S


8

Python

python
for r in range(10):
    poss=set(remsum(a,r) for a in range(10))
    print(r,sorted(poss))

Python

python
for r in range(3,7):
    print("r",r,[remsum(a,r) for a in range(10)])

Мысль

Final solution for n=777 and largest 778

To find the minimal largest number, we look at the sum of squares modulo 10. For n > 772, we narrowed down to 773-777. After examining the sum of square residues, only n=777 and starting at a=2 gives the potential to satisfy the condition that the sum ends in 8. Therefore, the largest number is 778.

Thought for 2m 12s

Ответ

Пусть выбраны натуральные числа

a,  a+1,  …,  a+n−1(a≥1),a,\;a+1,\;\dots,\;a+n-1\qquad (a\ge1),

а их сумма квадратов

S=∑i=0n−1(a+i)2S=\sum_{i=0}^{n-1}(a+i)^2

оканчивается цифрой 88, то есть S≡8(mod10)S\equiv 8\pmod{10}.

1) Периодичность по модулю 10

Квадраты по последней цифре повторяются с периодом 10:

0,1,4,9,6,5,6,9,4,1( mod 10).0,1,4,9,6,5,6,9,4,1 \quad (\bmod 10).

Сумма квадратов любых 10 подряд идущих чисел содержит каждую последнюю цифру ровно по разу, значит

0+1+4+9+6+5+6+9+4+1=45≡5(mod10).0+1+4+9+6+5+6+9+4+1=45\equiv 5\pmod{10}.

То есть каждые 10 подряд идущих квадратов дают вклад ≡5(mod10)\equiv 5\pmod{10}.

2) Почему нельзя получить максимум ≤777\le 777

Если наибольшее выбранное число ≤777\le 777, то n≤777n\le 777. Но n>772n>772, значит

n∈{773,774,775,776,777}.n\in\{773,774,775,776,777\}.

Во всех этих случаях

n=770+r,r∈{3,4,5,6,7},n=770+r,\quad r\in\{3,4,5,6,7\},

и есть ровно 7777 полных десятков, дающих вклад

77⋅5≡5(mod10).77\cdot 5\equiv 5\pmod{10}.

Значит, оставшиеся rr квадратов должны дать

≡8−5≡3(mod10).\equiv 8-5\equiv 3\pmod{10}.

Проверим, может ли сумма rr подряд идущих квадратов (по модулю 10) дать 3:

  • r=3r=3: возможные суммы =5,4,9,0,7,0,9,4,5,2=5,4,9,0,7,0,9,4,5,2 — 3 нет.
  • r=4r=4: возможные суммы =4,0,4,6,6,4,0,4,6,6=4,0,4,6,6,4,0,4,6,6 — 3 нет.
  • r=5r=5: возможные суммы только 00 или 55 — 3 нет.
  • r=6r=6: возможные суммы =5,1,9,9,1,5,1,9,9,1=5,1,9,9,1,5,1,9,9,1 — 3 нет.

Значит, n=773,774,775,776n=773,774,775,776 невозможны.

Остаётся r=7r=7, то есть n=777n=777. Для r=7r=7 сумма последних цифр квадратов может быть 33, и это происходит только если первое число оканчивается на 2. Например:

22+32+42+52+62+72+82≡4+9+6+5+6+9+4=43≡3(mod10).2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2 \equiv 4+9+6+5+6+9+4=43\equiv 3\pmod{10}.

Тогда вся сумма:

S≡5+3≡8(mod10).S\equiv 5+3\equiv 8\pmod{10}.

Минимальное натуральное aa, оканчивающееся на 2, — это a=2a=2. Тогда наибольшее число:

a+n−1=2+777−1=778.a+n-1=2+777-1=778.

Ответ

778.\boxed{778}.

(Достигается набором 2,3,…,7782,3,\dots,778, где n=777>772n=777>772.)

Вопрос

Отрицательное число x и действительное число y таковы, что x+xy=168 и ny+xy=112. Найдите x.

Мысль

Clarifying equation typo and solving the system

The user provided a system of equations with potential typos, particularly the "ny" part. It seems they might have meant "y + xy = 112." Let's go with that and solve: from the first equation, we get x(1 + y) = 168, and from the second, y(1 + x) = 112. Substituting and solving for x and y.

Thought for 10s

Ответ

Скорее всего во второй записи опечатка и имеется в виду

y+xy=112(то есть y(1+x)=112).y+xy=112 \quad(\text{то есть } y(1+x)=112).

Тогда система:

x+xy=168  ⇒  x(1+y)=168,x+xy=168 \;\Rightarrow\; x(1+y)=168, y+xy=112  ⇒  y(1+x)=112.y+xy=112 \;\Rightarrow\; y(1+x)=112.

Из первой:

1+y=168x  ⇒  y=168x−1.1+y=\frac{168}{x}\;\Rightarrow\; y=\frac{168}{x}-1.

Подставим во вторую:

(168x−1)(1+x)=112.\left(\frac{168}{x}-1\right)(1+x)=112.

Раскроем:

168(1+x)x−(1+x)=112\frac{168(1+x)}{x}-(1+x)=112 (168x+168)−1−x=112\left(\frac{168}{x}+168\right)-1-x=112 168x+167−x=112\frac{168}{x}+167-x=112 168x−x+55=0\frac{168}{x}-x+55=0 168=x(x−55)⇒x2−55x−168=0.168=x(x-55)\Rightarrow x^2-55x-168=0. x=55±552+4⋅1682=55±36972.x=\frac{55\pm\sqrt{55^2+4\cdot168}}{2}=\frac{55\pm\sqrt{3697}}{2}.

Так как xx отрицательное, берём минус:

x=55−36972.\boxed{x=\frac{55-\sqrt{3697}}{2}}.

Если во второй формуле вместо yy у вас действительно стоит другая буква/выражение (например, nyny), напишите её точно — тогда решим тот вариант.

Вопрос

Отрицательное число x и действительное число y таковы, что x+xy=168 и ny+xy=112. Найдите x. n - константа

Мысль

Solving for x in equation system

The problem involves two equations: x + xy = 168 and ny + xy = 112, with n being a constant. I'll isolate y from both equations: first from x(1 + y) = 168, then substitute into the second equation. After simplifying, I cross-multiply and look for a solution for x in terms of n.

Expanding quadratic equation for x

I expanded the equation to get a quadratic form for x: x² + (n-56)x - 168n = 0. Solving for x, I find two possible solutions involving n. However, the square roots and constants don't seem to factor nicely. I’m wondering if specific values for n are needed for a clean solution.

Exploring the hidden condition for x

I’m wondering if n is a natural positive integer, or perhaps just 1 as a simplifying assumption—since the value of n wasn't given directly. The question asks to find x, possibly in terms of n. I’ll try an approach by eliminating n, but it's tough since n is involved in both equations. It’s tricky.

Solving for x under constraints

I’m wondering if we can solve for x without knowing n since it's negative and might need to be an integer. The equations suggest that n might be a positive integer, but this isn’t explicitly stated. By subtracting the equations, I get a new relation for y, and from there, I deduce possible constraints on y.

Analyzing the sign of x solutions

I’m finding that x can be expressed as a function of n, with two possible roots. For large positive n, one root is positive, and the other is negative. By looking at the discriminant, I can conclude that for n > 0, the negative root is x2, and it satisfies the condition for x being negative.

Thought for 34s

Ответ

Дано:

x+xy=168,ny+xy=112,x+xy=168,\qquad ny+xy=112,

где x<0x<0, y∈Ry\in\mathbb R, nn — константа.

  1. Преобразуем уравнения:
x(1+y)=168,y(n+x)=112.x(1+y)=168,\qquad y(n+x)=112.
  1. Вычтем второе из первого (сократится xyxy):
(x+xy)−(ny+xy)=168−112  ⇒  x−ny=56  ⇒  y=x−56n.(x+xy)-(ny+xy)=168-112 \;\Rightarrow\; x-ny=56 \;\Rightarrow\; y=\frac{x-56}{n}.

Отсюда сразу видно, что n≠0n\neq 0.

  1. Подставим y=x−56ny=\frac{x-56}{n} в x(1+y)=168x(1+y)=168:
x(1+x−56n)=168  ⇒  x⋅n+x−56n=168  ⇒  x(n+x−56)=168n.x\left(1+\frac{x-56}{n}\right)=168 \;\Rightarrow\; x\cdot \frac{n+x-56}{n}=168 \;\Rightarrow\; x(n+x-56)=168n.

Получаем квадратное уравнение:

x2+(n−56)x−168n=0.x^2+(n-56)x-168n=0.
  1. Решаем:
D=(n−56)2+4⋅168n=n2+560n+3136,D=(n-56)^2+4\cdot 168n=n^2+560n+3136, x=−(n−56)±D2=56−n±n2+560n+31362.x=\frac{-(n-56)\pm\sqrt{D}}{2}=\frac{56-n\pm\sqrt{n^2+560n+3136}}{2}.

Так как x<0x<0, берём отрицательный корень (при n>0n>0 он единственный отрицательный):

 x=56−n−n2+560n+31362 .\boxed{\,x=\frac{56-n-\sqrt{n^2+560n+3136}}{2}\,}.

(Замечание: при n=0n=0 система противоречива, а при n<0n<0 оба корня оказываются неотрицательными, так что условие x<0x<0 фактически требует n>0n>0.)

Вопрос

Отрицательное число x и действительное число y таковы, что x+xy=168 и 11*y+xy=112. Найдите x.

Мысль

Thought for 5s

Ответ

Имеем систему:

x+xy=168,11y+xy=112,x<0.x+xy=168,\qquad 11y+xy=112,\qquad x<0.

Вычтем второе уравнение из первого (слагаемое xyxy сократится):

(x+xy)−(11y+xy)=168−112⇒x−11y=56⇒y=x−5611.(x+xy)-(11y+xy)=168-112 \Rightarrow x-11y=56 \Rightarrow y=\frac{x-56}{11}.

Подставим в первое уравнение x(1+y)=168x(1+y)=168:

x(1+x−5611)=168⇒x⋅x−4511=168⇒x(x−45)=1848.x\left(1+\frac{x-56}{11}\right)=168 \Rightarrow x\cdot \frac{x-45}{11}=168 \Rightarrow x(x-45)=1848.

Получаем квадратное:

x2−45x−1848=0.x^2-45x-1848=0. x=45±452+4⋅18482=45±2025+73922=45±94172.x=\frac{45\pm\sqrt{45^2+4\cdot1848}}{2} =\frac{45\pm\sqrt{2025+7392}}{2} =\frac{45\pm\sqrt{9417}}{2}.

Так как x<0x<0, берём минус:

 x=45−94172 .\boxed{\,x=\frac{45-\sqrt{9417}}{2}\,}.

Поделиться этим Q&A