Я не понимаю как связать значения функции f(x,y) в...

Коротко:

• Нет, значение функции $f(x,y)$ в точке не зависит от длины отрезка разбиения.
• Зависит только произведение «значение функции в точке $\times$ длина маленького кусочка кривой».
• Параметр разбиения влияет на $\Delta s_i$ (длины), а не на саму $f$.

Разберём по шагам.

---

1. Как вообще устроен интеграл по кривой

Пусть кривая задана параметрически:

$$\gamma:\quad \begin{cases} x = x(t)\\ y = y(t) \end{cases}, \quad t \in [a,b].$$

Интеграл функции $f(x,y)$ по кривой (первого рода) определяют так:

1. Делим отрезок $[a,b]$ на части: $a = t_0 < t_1 < \dots < t_n = b$.
2. На каждом промежутке $[t_{i-1}, t_i]$ берём точку $t_i^*$.
3. Смотрим соответствующую точку на кривой: $$M_i = (x(t_i^*), y(t_i^*)).$$
4. Длина маленького кусочка кривой $\Delta s_i \approx |\mathbf{r}'(t_i^*)|\,\Delta t_i$,
   где $\mathbf{r}(t) = (x(t),y(t))$, $\Delta t_i = t_i - t_{i-1}$, а $$|\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}.$$

Сумма Римана:

$$S_n = \sum_{i=1}^n f\bigl(x(t_i^*),y(t_i^*)\bigr)\,\Delta s_i \approx \sum_{i=1}^n f\bigl(x(t_i^*),y(t_i^*)\bigr)\,|\mathbf{r}'(t_i^*)|\,\Delta t_i.$$

Если при измельчении разбиения эта сумма стремится к пределу, то

$$\int_\gamma f(x,y)\,ds = \int_a^b f(x(t),y(t))\,|\mathbf{r}'(t)|\,dt.$$

Здесь:

• $f(x(t),y(t))$ — значение функции в точке кривой;
• $|\mathbf{r}'(t)|\,dt$ — «маленькая длина» кривой, то есть $ds$.

---

2. Физический случай: масса проволоки

Пусть дана линейная плотность $\lambda$, кг/м, как функция точки на кривой: $\lambda(x,y)$.

Тогда масса маленького кусочка длины $\Delta s_i$ примерно:

$$\Delta m_i \approx \lambda(M_i)\,\Delta s_i.$$

То есть плотность $\lambda$ — значение функции в точке, $\Delta s_i$ — геометрия (размер кусочка).

Важно:

Плотность не зависит от выбранной длины $\Delta s_i$.
Она определяется как предел $\Delta m / \Delta s$ при $\Delta s \to 0$.

То, что плотность определяют через отношение $\Delta m / \Delta s$, не значит, что она «функция длины отрезка». Это характеристика материала в данной точке.

---

3. Произвольная функция на кривой

Теперь, если у нас произвольная функция $f(x,y)$ и мы берём интеграл

$$\int_\gamma f(x,y)\,ds,$$

то с формальной точки зрения мы делаем ровно то же:

• считаем $f$ как «плотность на единицу длины»;
• суммируем $f(M_i)\,\Delta s_i$.

Так что математически любой интеграл $\int_\gamma f\,ds$ можно понимать как «массу» кривой с линейной плотностью $f$.

Ответ на ваш ключевой вопрос:

«В случае произвольной функции на кривой её значения тоже зависят от параметра разбиения?»

Нет.

• $f(x,y)$ зависит только от точки $(x,y)$.
• Параметр разбиения (как вы нарезали $[a,b]$) влияет только на $\Delta t_i$, а через них — на $\Delta s_i$.
• В пределе при измельчении разбиения результат интеграла не зависит от того, как именно вы параметризовали и нарезали кривую.

Если вы смените параметр $t$ на другой $\tau$, интеграл перепишется по-другому (через $\tau$), но численное значение останется тем же. Там просто сработает цепное правило, и фактор $|\mathbf{r}'(t)|$ «компенсирует» изменение параметра.

---

4. Если совсем в одну фразу

• Физика: $\lambda$ — плотность в точке, $\Delta s$ — длина маленького кусочка; масса $\approx \lambda\,\Delta s$.
• Математика: $f$ — так же ведёт себя, как «плотность»; интеграл $\int_\gamma f\,ds$ определяется ровно по тому же принципу.
• Ни $\lambda$, ни $f$ не зависят от того, какой длины вы берёте кусочки разбиения; от разбиения зависит только $\Delta s$ и точность приближения суммы к интегралу.

Если хотите, в следующем сообщении могу разобрать конкретный пример с простой кривой и посчитать интеграл по шагам.