Реши задание

Дано

• Большая окружность $\omega(O,R)$;
• меньшая $\omega_1(O_1,r)$ касается $\omega$ изнутри в $A$ и проходит через $O$;
• $R=2r$ (из $OO_1=R-r=r$);
• $BC$ — диаметр $\omega$, $M=BC\cap\omega_1\;(M\ne A)$;
• $P\in AO\cap\omega\;(P\ne A)$, $Q\in AM\cap\omega\;(Q\ne A)$;
• $C$ лежит на дуге $AQ$ без $P$;
• $K=PC\cap AQ$.

---

a) $PQ\parallel BC$

У окружностей, касающихся в $A$, существует гомотетия

$$H(A, k=\tfrac{R}{r}=2),$$

которая переводит $\omega_1$ в $\omega$.

• $O\mapsto P\;(AO:AP=1:2)$;
• $M\mapsto Q\;(AM:AQ=1:2)$.

Линия $OM$ при гомотетии, центр которой не лежит на $OM$, переходит в прямую, параллельную $OM$.
Следовательно $PQ\parallel OM$.

Но $O,M\in BC\Rightarrow OM\subset BC$.
Отсюда

$$PQ\parallel BC.\qquad\boxed{}$$

---

b) Найти $QK:KA$, если

$$\sin\angle AOC=\frac{\sqrt{15}}{4}\quad\Longrightarrow\quad \cos\angle AOC=\frac14$$

(так как $OA=OC$).

1. Удобные координаты

Возьмём $O(0,0),\;R=2,\;A(2,0)$.
Тогда

$$\angle AOC=\alpha,\quad \sin\alpha=\frac{\sqrt{15}}4,\; \cos\alpha=\frac14.$$

Точка

$$C\bigl(2\cos\alpha,\;2\sin\alpha\bigr)= \Bigl(\tfrac12,\;-\tfrac{\sqrt{15}}2\Bigr),$$

а диаметр $BC$ образует с осью $OX$ угол
$\theta=\pi-\alpha$ ⇒ $\cos\theta=-\tfrac14,\;\sin\theta=\tfrac{\sqrt{15}}4$.

Из пункта a $PQ\parallel BC$, причём

$$P(-2,0),\qquad M\bigl(2\cos^2\theta,\;2\cos\theta\sin\theta\bigr) =\Bigl(\tfrac18,\;-\tfrac{\sqrt{15}}8\Bigr).$$

Луч $AM$ пересекает $\omega$ вторично в точке

$$Q\Bigl(-\tfrac74,\;-\tfrac{\sqrt{15}}4\Bigr).$$

2. Пересечение $K=PC\cap AQ$

Пересекаем прямые $PC$ и $AQ$:

$$K\bigl(-1,\;-\tfrac{\sqrt{15}}5\bigr).$$

3. Отношение $QK:KA$

$$QK=\sqrt{\Bigl(\!-\tfrac74+1\Bigr)^{\!2}+\Bigl(\!-\tfrac{\sqrt{15}}4 +\tfrac{\sqrt{15}}5\Bigr)^{\!2}} =\frac{\sqrt{15}}5,\qquad KA=\sqrt{(2+1)^{2}+\Bigl(\tfrac{\sqrt{15}}5\Bigr)^{\!2}} =\frac{4\sqrt{15}}5.$$

Следовательно

$$\boxed{\,QK:KA=1:4\,}.$$

---

Ответ

a) $PQ\parallel BC$;
b) $QK:KA=1:4$.