logoChat01.ai

Пусть $$b_1$$, $$b_2$$, $$\dotsc$$ - геометрическа...

Создано: 28 мая 2025 г.

Отвечено с использованием O3 от Chat01

Вопрос

Пусть b1b_1, b2b_2, …\dotsc - геометрическая прогрессия, знаменатель которой отличен от единицы. Докажите, что для всех натуральных n≥2n \geq 2
bn2b1⋅b2+bn2b2⋅b3+…+bn2bn−1⋅bn=b2b1⋅bn2−b12b22−b12.\dfrac{b_n^2}{b_1 \cdot b_{2}}+ \dfrac{b_n^2}{b_2 \cdot b_{3}}+\dotsc + \dfrac{b_n^2}{b_{n-1} \cdot b_{n}}=\dfrac{b_2}{b_1} \cdot \dfrac{b_n^2-b_1^2}{b_2^2-b_1^2}.

Мысль

Proving the geometric progression identity

The question asks to prove a mathematical identity involving terms from a geometric progression, where the ratio is not equal to 1. The general form for the terms in this progression is bk=b1qk−1b_k = b_1 q^{k-1}, where qq is the common ratio. I need to simplify the expression, working with powers of qq, and ensuring I handle all exponents and the sum correctly. I'll express and manipulate the terms to derive the result as required.

Thought for 14 seconds

Ответ

Обозначим знаменатель прогрессии через

q=b2b1≠1, тогда   bk=b1q k−1  (k≥1).q=\frac{b_{2}}{b_{1}}\neq 1,\qquad\text{ тогда } \; b_k=b_{1}q^{\,k-1}\;(k\ge 1).

1. Вычислим левую часть

bn2bk bk+1=b12q 2n−2(b1q k−1)(b1q k)=q 2n−2q 2k−1=q 2(n−k)−1.\frac{b_n^{2}}{b_k\,b_{k+1}} =\frac{b_{1}^{2}q^{\,2n-2}}{(b_{1}q^{\,k-1})(b_{1}q^{\,k})} =\frac{q^{\,2n-2}}{q^{\,2k-1}} = q^{\,2(n-k)-1}.

Суммируя при k=1,2,…,n−1k=1,2,\dots ,n-1 и делая замену j=n−k  (j=1,…,n−1)j=n-k\;(j=1,\dots ,n-1), получаем

∑k=1 n−1bn2bk bk+1=∑j=1 n−1q 2j−1=q∑j=1 n−1q 2(j−1)=q∑m=0 n−2(q2)m.\sum_{k=1}^{\,n-1}\frac{b_n^{2}}{b_k\,b_{k+1}} =\sum_{j=1}^{\,n-1}q^{\,2j-1} = q\sum_{j=1}^{\,n-1}q^{\,2(j-1)} = q\sum_{m=0}^{\,n-2}(q^{2})^{m}.

Это обычная геометрическая прогрессия из n−1n-1 членов:

q∑m=0 n−2(q2)m=q  1−q 2(n−1)1−q2.(★)q\sum_{m=0}^{\,n-2}(q^{2})^{m} = q\;\frac{1-q^{\,2(n-1)}}{1-q^{2}}. \tag{★}

2. Преобразуем правую часть

b2b1⋅bn2−b12b2 2−b12=q  b12(q 2n−2−1)b12(q2−1)=q  q 2n−2−1q2−1.(★★)\frac{b_{2}}{b_{1}}\cdot\frac{b_{n}^{2}-b_{1}^{2}}{b_{2}^{\,2}-b_{1}^{2}} = q\;\frac{b_{1}^{2}(q^{\,2n-2}-1)}{b_{1}^{2}(q^{2}-1)} = q\;\frac{q^{\,2n-2}-1}{q^{2}-1}. \tag{★★}

3. Сравним (★) и (★★)

Заметим, что

1−q 2(n−1)1−q2=−(q 2n−2−1)−(q2−1)=q 2n−2−1q2−1.\frac{1-q^{\,2(n-1)}}{1-q^{2}} =\frac{-(q^{\,2n-2}-1)}{-(q^{2}-1)} =\frac{q^{\,2n-2}-1}{q^{2}-1}.

Следовательно выражения (★) и (★★) совпадают, а именно

  ∑k=1n−1bn2bk bk+1=b2b1⋅bn2−b12b2 2−b12  (n≥2,  q≠1).\boxed{\; \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\frac{b_n^{2}}{b_k\,b_{k+1}} = \frac{b_{2}}{b_{1}}\cdot \frac{b_{n}^{2}-b_{1}^{2}}{b_{2}^{\,2}-b_{1}^{2}} \;} \qquad(n\ge 2,\;q\neq 1).

Что и требовалось доказать.

Поделиться этим Q&A