Ахиллес помылся антибактериальным мылом, но не дот...

Вопрос

Ахиллес помылся антибактериальным мылом, но не дотянулся до пятки. Бактерина ней стали размножаться, новые бактерии переползли на остальное тело. После появления на теле Ахиллеса бактерия живёт ровно час. За это время она порождает 2 новые бактерии: через полчаса после своего появления и через час. Сколько бактерий переползло на тело героя изначально, если через 3 часа и 1 минуту на нём было 63 бактерии?

Мысль

Breaking down the bacteria problem

Okay, this is a word problem involving bacteria. Achilles washed himself with antibacterial soap, but some bacteria still survived on his heel and spread to the rest of his body. Each bacterium lives for one hour and produces two new bacteria during that time. The question is asking how many bacteria initially crawled onto Achilles' body at time zero, given that there are 63 bacteria at exactly 3 hours and 1 minute. Let’s think this through step by step!

Modeling bacteria growth

The bacteria follow a 30-minute reproduction pattern. Each bacterium lives for an hour, and at t=0.5h, it creates one offspring; when it dies at t=1h, it creates another. I need to count at t=3h+1m (after 3 hours and 1 minute). Since the bacteria reproduce or die only at multiples of 0.5h, no new bacteria will be born in that last minute. So, the bacteria number at t=3h+1m is exactly the same as it was at t=3h, just after the 3-hour event.

Thought for 1m 16s

Ответ

Пусть $B_k$ — число бактерий, которые рождаются в момент $k\cdot 0{,}5$ ч (k – целое, $k\ge 0$ ).
Начальное количество бактерий — это $B_0=N$ (они «переползли» на тело в момент $t=0$ ).

Как образуются новые поколения

Каждая бактерия живёт ровно 1 час = 2 получаса.
- через $0{,}5$ ч она порождает первого потомка;
- через 1 ч она порождает второго потомка и сразу гибнет.

Следовательно, в момент $(k+1)\cdot0{,}5$ ч появляются потомки:

всех бактерий, родившихся полчаса назад ( $B_k$ );
всех бактерий, родившихся час назад ( $B_{k-1}$ ).

Отсюда рекуррентная формула

B_{k+1}=B_k+B_{k-1}\qquad(k\ge 1),

то есть последовательность $B_k$ — это числа Фибоначчи, умноженные на $N$ :

\begin{aligned} B_0 &= N,\\ B_1 &= N,\\ B_2 &= 2N,\\ B_3 &= 3N,\\ B_4 &= 5N,\\ B_5 &= 8N,\\ B_6 &= 13N,\;\ldots \end{aligned}

Сколько бактерий живо через 3 ч + 1 мин?

Все события происходят только в моменты, кратные $0{,}5$ ч.
Через $3$ ч = 6 получасов случился очередной «сеанс» рождений/смертей, а за следующую минуту ничего больше не изменилось. Поэтому число живых бактерий в $t=3\text{ ч}+1\text{ мин}$ равно числу, которое осталось сразу после событий в $t=3\text{ ч}$ .

В этот момент живы две «последние» генерации: родившиеся в $t=2{,}5\text{ ч}$ ( $B_5$ ) и в $t=3\text{ ч}$ ( $B_6$ ). Значит

\text{живых}(3\text{ ч}+1\text{ мин}) = B_5 + B_6 = 8N + 13N = 21N.

По условию это число равно $63$ :

21N = 63 \;\;\Longrightarrow\;\; N = 3.

Ответ: изначально на тело Ахиллеса переползло 3 бактерии.