阅读文章，用中文回答问题，如果将文中的$\alpha>1$改为$2>\alpha>1$，还是否成立，...

结论先行

把文中的假设

$$\alpha>1$$

细化为

$$2>\alpha>1$$

并不会破坏 论文主定理（定理 1）的成立；所有关键估计在 $1<\alpha<2$ 的情况下依旧有效，证明无需本质改动。下面按照论文证明的结构，逐条说明为何不会出错，以及各处对 $\alpha$ 的要求是什么。

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1. 文章对 $\alpha$ 的全部用法

用到的位置	原始条件/结论	对 $\alpha$ 的真正需求
定义条件  $\displaystyle\lim_{	s	\to\infty}\frac{g(s)}{
Lemma 2 (1)-(3) 不等式
$G(s)\le g(s)s\le\alpha G(s)$ 等	证明过程中只需要 $\alpha>1$；$\alpha$ 作为常数因子出现。	$\alpha\in(1,2)$ 仍成立。
p 的取值区间
$2\alpha\le p \le \dfrac{2\alpha(N-\mu)}{N-2}$	下界保证 $p/\alpha\ge2$，上界保证若干 Sobolev 指数小于临界指数。	当 $\alpha<2$ 时，下、上界同时随 $\alpha$ 同步缩小，不影响后续估计。
Step 1 中对拉格朗日乘子
$\dfrac{m_a}{a^\alpha}\le\lambda_a\le\dfrac{\alpha m_a}{a}$ 的夹估	$\alpha$ 只做常数系数；需 $\alpha>1$ 以保证正数并可取倒数。	不受 $\alpha<2$ 影响。
Step 2 关键不等式 (31)$~$(32)
需要 $\displaystyle \frac{2Np}{\alpha(2N-\mu)}>2$ 及 $<2^*$，并用到 $p/\alpha\ge2$	这两个不等式在原始区间内与 $\alpha$ 无关（$\alpha$ 在上下界同时被抵消），详见下节计算。	仍满足。

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2. 关键指数与 $\alpha$ 的脱钩

设

$$t_\alpha:=\frac{2Np}{\alpha(2N-\mu)} ,\qquad p_{\max}=\frac{2\alpha(N-\mu)}{N-2},\quad p_{\min}=2\alpha.$$

• 上界： 带入 $p_{\max}$ 得

  $$t_\alpha^{\max}= \frac{4N(N-\mu)}{(N-2)(2N-\mu)},$$

  与 $\alpha$ 完全无关，并且可直接验证

  $$t_\alpha^{\max}<\frac{2N}{N-2}=2^* .$$

• 下界： 带入 $p_{\min}$ 得

  $$t_\alpha^{\min}= \frac{4N}{2N-\mu}>2 ,$$

  同样与 $\alpha$ 无关。
  因而 (31)-(32) 中“指数在 $(2,2^*)$ 之间”的要求天然满足，不论 $\alpha$ 是否小于 2。

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3. 可能担心的两点

1. $p/\alpha\ge2$
   随着 $\alpha\downarrow1$，下界 $p\ge2\alpha$ 同时下移，但比值

   $$\frac{p}{\alpha}\ \ge\ \frac{2\alpha}{\alpha}=2$$

   恒为 $\ge2$，满足 Step 2 里使用 Hölder–Young 不等式时“指数 $\ge2$”的要求。

2. Lemma 2 (3) 的估计
   $\lvert s\rvert^\alpha\le(\alpha/\beta)\,|G(s)|$ 中因为 $\alpha\in(1,2)$ 仍大于 1，使用同样的积分分部计算即可推导，不需新假设。

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4. 如果真的要把“$\alpha>1$”写成“$1<\alpha<2$”

• 显式修改处：仅需在全文假设列表里把
  “for some $\alpha>1$” 改成 “for some $1<\alpha<2$”。
  其余所有不等式、常数 $C(\alpha)$、下界 $2\alpha\le p$ 与上界 $2\alpha(N-\mu)/(N-2)$ 自动随之调整，无需额外证明。

• 证明文本中的字面处（例如 Step 2 末尾 “因为 $p/\alpha\ge2>1$”）：保持原句即可；条件依旧满足。

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总结

将假设细化为 $2>\alpha>1$ 不影响 定理 1 及其证明的任何环节。
只要同步把涉及 $\alpha$ 的参数区间（尤其是 $p$ 的上下界）按新 $\alpha$ 重新书写，所有估计依然成立，结论——方程在大参数 $\lambda_n\to\infty$ 时存在非平凡弱解——保持不变。

推导思路

1. 记号转换
   设

   $$H(s)\;:=\;\frac{G^{-1}(s)}{g\!\bigl(G^{-1}(s)\bigr)},\qquad u\;:=\;G^{-1}(s)\;(\Longrightarrow\;s=G(u),\;G'(u)=g(u)).$$

2. 一阶求导（链式法则）

   $$\frac{\mathrm dH}{\mathrm ds} \;=\; \frac{\mathrm dH}{\mathrm du}\;\cdot\;\frac{\mathrm du}{\mathrm ds}.$$
   • 先求 $u$-方向导数 $$\frac{\mathrm dH}{\mathrm du} \;=\; \frac{\mathrm d}{\mathrm du}\!\Bigl(\tfrac{u}{g(u)}\Bigr) \;=\; \frac{g(u)-u\,g'(u)}{g^{2}(u)} .$$
   • 再换回 $s$-方向（因为 $\displaystyle\frac{\mathrm du}{\mathrm ds}=\frac1{g(u)}$） $$\frac{\mathrm dH}{\mathrm ds} \;=\; \frac{g(u)-u\,g'(u)}{g^{3}(u)} \;=\; \frac{1-\dfrac{u\,g'(u)}{g(u)}}{g^{2}(u)} .$$

3. 符号判断

   • 由文章中的基本假设 $$\bigl(\alpha-1\bigr)\,g(u)\;\ge\;u\,g'(u),\qquad\forall\,u\in\mathbb R,$$ 等价于 $$\frac{u\,g'(u)}{g(u)}\;\le\;\alpha-1 .$$
   • 若把条件细化为 $1<\alpha<2$，则 $\alpha-1\in(0,1)$，于是 $$1-\frac{u\,g'(u)}{g(u)} \;\ge\; 1-(\alpha-1) \;=\; 2-\alpha \;>\;0 .$$
   • 再考虑 $g(u)>0$（由 $g:\mathbb R\to\mathbb R_{+}$），得到 $$\frac{\mathrm d}{\mathrm ds}\left(\frac{G^{-1}(s)}{g\bigl(G^{-1}(s)\bigr)}\right) \;=\; \frac{1-\dfrac{G^{-1}(s)\,g'\bigl(G^{-1}(s)\bigr)}{g\bigl(G^{-1}(s)\bigr)}}{g^{2}\!\bigl(G^{-1}(s)\bigr)} \;>\;0 .$$

4. 结论
   在新的参数范围 $1<\alpha<2$ 下，上式严格为正，说明函数

   $$s\;\longmapsto\;\frac{G^{-1}(s)}{g\!\bigl(G^{-1}(s)\bigr)}$$

   单调递增。该单调性后来被用来保证某些倒函数或不等式的合法性；若只知道 “$\alpha>1$” 而不给出上界，则无法保证 $\alpha-1<1$，从而无法确定导数符号，这就是必须把条件收紧到 $2>\alpha>1$ 的原因。

计算步骤

记

$$H(s)\;=\;\frac{G^{-1}(s)}{g(G^{-1}(s))},\qquad u\;=\;G^{-1}(s)\;\Longrightarrow\;s=G(u),\;G'(u)=g(u).$$

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1 . 链式法则求导

$$\frac{\mathrm dH}{\mathrm ds} =\frac{\mathrm dH}{\mathrm du}\;\frac{\mathrm du}{\mathrm ds}.$$

• 对 u 求导

  $$\frac{\mathrm dH}{\mathrm du} \;=\;\frac{\mathrm d}{\mathrm du}\!\Bigl(\tfrac{u}{g(u)}\Bigr) \;=\;\frac{g(u)-u\,g'(u)}{g^{2}(u)}.$$

• 换回 s 变量（$\displaystyle\frac{\mathrm du}{\mathrm ds}=\frac1{g(u)}$）

  $$\boxed{\; \frac{\mathrm d}{\mathrm ds}\!\Bigl(\frac{G^{-1}(s)}{g(G^{-1}(s))}\Bigr) =\frac{1-\dfrac{u\,g'(u)}{g(u)}}{g^{2}(u)} \;}.$$

写成文中记号即

$$\frac{d}{ds}\!\Bigl(\frac{G^{-1}(s)}{g(G^{-1}(s))}\Bigr) =\frac{1}{g^{2}(G^{-1}(s))}\Bigl(1-\frac{G^{-1}(s)\,g'(G^{-1}(s))}{g(G^{-1}(s))}\Bigr).$$

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2 . 符号判断

论文假设（见公式 (1) 前的条件）

$$(\alpha-1)g(s)\;\ge\;g'(s)\,s,\qquad \forall\,s\ge0, \quad\alpha>1. \qquad$$

整理得

$$\frac{s\,g'(s)}{g(s)}\;\le\;\alpha-1.$$

于是

$$1-\frac{s\,g'(s)}{g(s)} \;\;\ge\;\;1-(\alpha-1)\;=\;2-\alpha.$$

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3 . 讨论 $\mathbf{2\ge\alpha>1}$

$\alpha$ 取值	下界 $2-\alpha$	导数符号
$1<\alpha<2$	$2-\alpha>0$	严格正
$\alpha=2$	$2-\alpha=0$	非负，可能为 0

因此在新的区间

$$1<\alpha<2$$

函数 $H(s)$ 严格单调递增；
当 $\alpha=2$ 时只能得到

$$\frac{dH}{ds}\;\ge\;0,$$

不再保证“>0”。若确实需要严格不等式，可做以下微调之一：

1. 保留 $1<\alpha<2$：把条件写成 $2>\alpha>1$，与前一问中结论一致；
2. 或加强假设：要求 $$(\alpha-1)g(s)\;>\;g'(s)s,\qquad\forall s>0,$$ 则即使 $\alpha=2$ 也有
   $1-\dfrac{s\,g'(s)}{g(s)}\;>\;0$，
   导数仍为正。

只要满足上述其一，就可以在全文任何用到“导数 > 0”的地方保持论证成立。