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% Fiche de révision – Cinétique & Principes généraux de la dynamique
% Sources : Chapitre 1 Cinétique  — Chapitre 2 PFD 
\documentclass[a4paper]{article}

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% Styles d’encadrés
\tcbset{
  colback=blue!5!white,
  colframe=blue!50!black,
  boxrule=0.5pt,
  arc=2pt,
  left=4pt,
  right=4pt,
  top=2pt,
  bottom=2pt
}

\begin{document}

\begin{center}
  {\Large\bfseries Mécanique – Cinétique \& Principes généraux de la dynamique}\$$-0.2em]
  \rule{\linewidth}{0.4pt}
\end{center}

\section*{I. Opérateur d'inertie et moments d'inertie}
\subsection*{1. Moment d’inertie par rapport à une droite}
\begin{tcolorbox}[title=\bfseries Définition]
Le \textbf{moment d’inertie} d’un système matériel $S$ par rapport à une droite $D$ est :
\begin{equation}
  I_D(S)=\int_S PP'^2\,\mathrm d m
\end{equation}
où $P'$ est la projection orthogonale de $P$ sur $D$.
\end{tcolorbox}

\subsection*{2. Opérateur linéaire d’inertie au point $O$}
\begin{tcolorbox}[title=\bfseries Définition]
L’\textbf{opérateur d’inertie} en $O$ est l’application
\begin{equation}
  \mathcal I_{O}(S):\ \vec u \longmapsto
  \int_S \overrightarrow{OP}\times\bigl(\vec u\times \overrightarrow{OP}\bigr)\,\mathrm d m .
\end{equation}
\end{tcolorbox}

\begin{itemize}[label=--]
  \item \textbf{Additivité} : $\mathcal I_O(\Sigma_i)=\sum_i\mathcal I_O(S_i)$.
  \item \textbf{Symétrie} : $\vec u\!\cdot\!\mathcal I_O(S)\vec v=\vec v\!\cdot\!\mathcal I_O(S)\vec u$.
  \item \textbf{Théorème de Koenig (Huyghens)} :
  \[
    \mathcal I_O(S)=\mathcal I_G(S)+m(S)\bigl(GO\bigr)^2.
  $$
\end{itemize}

\section*{II. Torseurs cinétique et dynamique}
\subsection*{1. Torseur cinétique $\bigl[\mathcal V_0(S)\bigr]_A$}
\begin{tcolorbox}[title=\bfseries Expressions clés]
$$
  \bigl[\mathcal V_0(S)\bigr]_A=\left\{\;
  \vec R_c^0=\int_S\vec V_P^0\,\mathrm d m,\;
  \vec\sigma_c^{0}(A)=\int_S \overrightarrow{AP}\times\vec V_P^0\,\mathrm d m\right\}.
$$
Cas particuliers :
$$
  \vec R_c^0=m\vec V_G^0,\qquad
  \vec\sigma_c^{0}(G)=\mathcal I_G(S)\,\vec\Omega.
$$
\end{tcolorbox}

\subsection*{2. Torseur dynamique $\bigl[\mathcal A_0(S)\bigr]_A$}
$$
  \bigl[\mathcal A_0(S)\bigr]_A=\left\{\;
  \vec R_d^0=\int_S\vec\gamma_P^0\,\mathrm d m,\;
  \vec\delta_d^{0}(A)=\int_S \overrightarrow{AP}\times\vec \gamma_P^0\,\mathrm d m\right\}.
$$
$$
  \vec R_d^0=m\vec\gamma_G^0,\qquad
  \vec\delta_d^{0}(G)=\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\bigl(\mathcal I_G(S)\,\vec\Omega\bigr).
$$

\section*{III. Énergie cinétique d’un solide}
\begin{tcolorbox}[title=\bfseries Formules essentielles]
$$
  E_c(S)=\frac12\int_S V_P^2\,\mathrm d m
        =\frac12 m V_G^2+\frac12\,\vec\Omega\cdot\mathcal I_G(S)\,\vec\Omega.
$$
Si le solide possède un point $C$ fixe dans le référentiel $R_g$ :
$$
  E_c(S)=\frac12\,\vec\Omega\cdot\mathcal I_C(S)\,\vec\Omega.
$$
\end{tcolorbox}

\section*{IV. Théorèmes généraux de la dynamique}
\subsection*{1. Principe fondamental de la dynamique (PFD)}
\begin{tcolorbox}[title=\bfseries Énoncé]
Dans un espace-temps galiléen,
$$
  \bigl[\mathcal A_g(S)\bigr]=\bigl[\mathcal F_{\Sigma\to S}\bigr].
$$
Pour un point matériel : $m\vec\gamma=\sum\vec F_{\text{ext}}$.
\end{tcolorbox}

\subsection*{2. Théorème des inter-efforts}
$$
  \bigl[\mathcal F_{1\to 2}\bigr]=-\bigl[\mathcal F_{2\to 1}\bigr].
$$

\subsection*{3. Théorème de la résultante dynamique (TRD)}
$$
  \sum\vec F_{\text{ext}}=m\vec\gamma_G.
$$

\subsection*{4. Théorème du moment dynamique (TMD)}
$$
  \sum\vec M_{\text{ext}}(A)=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\bigl(\mathcal I_A(S)\,\vec\Omega\bigr)
  +\overrightarrow{AG}\times m\vec\gamma_G.
$$

\section*{V. Méthodologie de résolution d’un problème de dynamique}
\begin{enumerate}[label=\arabic*.]
  \item Dénombrer les inconnues cinématiques et sthéniques.
  \item Isoler le système ou sous-systèmes pertinents.
  \item Appliquer TRD et TMD (choix judicieux du point $A$).
  \item Écrire les équations du mouvement ; éliminer si possible les inconnues sthéniques.
  \item Résoudre :\\
        {\small$\displaystyle \text{cinématiques}\;\longrightarrow\;\text{sth\acute e}niques$.}
\end{enumerate}

\vfill
\begin{tcolorbox}[title=\bfseries À retenir – Checklist]
\begin{itemize}[label=$\square$]
  \item Formules de Koenig / Huyghens pour l’inertie.
  \item Expressions des torseurs cinétique et dynamique aux points $G$ et $A$.
  \item Décomposition de l’énergie cinétique : translation + rotation.
  \item Énoncés et applications du PFD, TRD, TMD.
  \item Procédure pas-à-pas pour la mise en équations d’un problème dynamique.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}

\end{document}

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% Fiche de révision – Cinétique & Principes généraux de la dynamique
\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage[a4paper,margin=1.5cm]{geometry}
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\usepackage{amsmath,amssymb}
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\usepackage[most]{tcolorbox}
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\usepackage{enumitem}
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\usetikzlibrary{arrows.meta,positioning}

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% Styles d’encadrés
\tcbset{
  colback=blue!5!white,
  colframe=blue!50!black,
  boxrule=0.5pt,
  arc=2pt,
  left=4pt,
  right=4pt,
  top=2pt,
  bottom=2pt
}

\begin{document}

\begin{center}
  {\Large\bfseries Mécanique – Cinétique \& Principes généraux de la dynamique}\$$-0.2em]
  \rule{\linewidth}{0.4pt}
\end{center}

\section*{I. Opérateur d'inertie et moments d'inertie}
\subsection*{1. Moment d’inertie par rapport à une droite}
\begin{tcolorbox}[title=\bfseries Définition]
Le \textbf{moment d’inertie} d’un système matériel $S$ par rapport à une droite $D$ est :
\begin{equation}
  I_D(S)=\int_S PP'^2\,\mathrm d m
\end{equation}
où $P'$ est la projection orthogonale de $P$ sur $D$.
\end{tcolorbox}

\begin{figure}[h]\centering
\begin{tikzpicture}[>=Stealth]
  % barre
  \draw[thick] (-3,0)--(3,0);
  % milieu
  \draw[fill] (0,0) circle (2pt) node[below]{\small $G$};
  % axe de rotation
  \draw[->] (0,0) -- (0,1) node[right]{\small Axe $D$};
  % longueur
  \draw[<->] (-3,-0.6) -- (3,-0.6) node[midway,below]{$2a$};
\end{tikzpicture}
\caption{Barre homogène de longueur $2a$ ; calcul de $I_D$ autour de l’axe $D$ passant par $G$.}
\end{figure}

\subsection*{2. Opérateur linéaire d’inertie au point $O$}
\begin{tcolorbox}[title=\bfseries Définition]
L’\textbf{opérateur d’inertie} en $O$ est l’application
\[
  \mathcal I_{O}(S):\ \vec u \longmapsto
  \int_S \overrightarrow{OP}\times\bigl(\vec u\times \overrightarrow{OP}\bigr)\,\mathrm d m .
$$
\end{tcolorbox}

\begin{itemize}[label=--]
  \item \textbf{Additivité} : $\mathcal I_O(\Sigma_i)=\sum_i\mathcal I_O(S_i)$.
  \item \textbf{Symétrie} : $\vec u\!\cdot\!\mathcal I_O(S)\vec v=\vec v\!\cdot\!\mathcal I_O(S)\vec u$.
  \item \textbf{Théorème de Koenig (Huyghens)} :
  $$
    \mathcal I_O(S)=\mathcal I_G(S)+m(S)\bigl(GO\bigr)^2.
  $$
\end{itemize}

\section*{II. Torseurs cinétique et dynamique}
\subsection*{1. Torseur cinétique $\bigl[\mathcal V_0(S)\bigr]_A$}
\begin{tcolorbox}[title=\bfseries Expressions clés]
$$
  \bigl[\mathcal V_0(S)\bigr]_A=\left\{\;
  \vec R_c^0=\int_S\vec V_P^0\,\mathrm d m,\;
  \vec\sigma_c^{0}(A)=\int_S \overrightarrow{AP}\times\vec V_P^0\,\mathrm d m\right\}.
$$
Cas particuliers :
$$
  \vec R_c^0=m\vec V_G^0,\qquad
  \vec\sigma_c^{0}(G)=\mathcal I_G(S)\,\vec\Omega.
$$
\end{tcolorbox}

\subsection*{2. Torseur dynamique $\bigl[\mathcal A_0(S)\bigr]_A$}
$$
  \bigl[\mathcal A_0(S)\bigr]_A=\left\{\;
  \vec R_d^0=\int_S\vec\gamma_P^0\,\mathrm d m,\;
  \vec\delta_d^{0}(A)=\int_S \overrightarrow{AP}\times\vec \gamma_P^0\,\mathrm d m\right\}.
$$
$$
  \vec R_d^0=m\vec\gamma_G^0,\qquad
  \vec\delta_d^{0}(G)=\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\bigl(\mathcal I_G(S)\,\vec\Omega\bigr).
$$

\section*{III. Énergie cinétique d’un solide}
\begin{tcolorbox}[title=\bfseries Formules essentielles]
$$
  E_c(S)=\frac12\int_S V_P^2\,\mathrm d m
        =\frac12 m V_G^2+\frac12\,\vec\Omega\cdot\mathcal I_G(S)\,\vec\Omega.
$$
Si le solide possède un point $C$ fixe dans le référentiel $R_g$ :
$$
  E_c(S)=\frac12\,\vec\Omega\cdot\mathcal I_C(S)\,\vec\Omega.
$$
\end{tcolorbox}

\section*{IV. Théorèmes généraux de la dynamique}
\subsection*{1. Principe fondamental de la dynamique (PFD)}
\begin{tcolorbox}[title=\bfseries Énoncé]
Dans un espace-temps galiléen,
$$
  \bigl[\mathcal A_g(S)\bigr]=\bigl[\mathcal F_{\Sigma\to S}\bigr].
$$
Pour un point matériel : $m\vec\gamma=\sum\vec F_{\text{ext}}$.
\end{tcolorbox}

\subsection*{2. Théorème des inter-efforts}
$$
  \bigl[\mathcal F_{1\to 2}\bigr]=-\bigl[\mathcal F_{2\to 1}\bigr].
$$

\subsection*{3. Théorème de la résultante dynamique (TRD)}
$$
  \sum\vec F_{\text{ext}}=m\vec\gamma_G.
$$

\subsection*{4. Théorème du moment dynamique (TMD)}
$$
  \sum\vec M_{\text{ext}}(A)=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\bigl(\mathcal I_A(S)\,\vec\Omega\bigr)
  +\overrightarrow{AG}\times m\vec\gamma_G.
$$

\section*{V. Méthodologie de résolution d’un problème de dynamique}
\begin{enumerate}[label=\arabic*.]
  \item Dénombrer les inconnues cinématiques et sthéniques.
  \item Isoler le système ou sous-systèmes pertinents.
  \item Appliquer TRD et TMD (choix judicieux du point $A$).
  \item Écrire les équations du mouvement ; éliminer si possible les inconnues sthéniques.
  \item Résoudre :\\
        {\small$\displaystyle \text{cinématiques}\;\longrightarrow\;\text{sth\acute e}niques$.}
\end{enumerate}

\begin{figure}[h]\centering
\begin{tikzpicture}[
  node distance=1.6cm,
  rectangular/.style={
    draw,
    rounded corners,
    align=center,
    minimum width=3.4cm,
    minimum height=1cm
  }]
  \node[rectangular] (n1){\small Dénombrer\\inconnues};
  \node[rectangular, below of=n1] (n2){\small Isoler\\système};
  \node[rectangular, below of=n2] (n3){\small TRD / TMD};
  \node[rectangular, below of=n3] (n4){\small Équations\\de mouvement};
  \node[rectangular, below of=n4] (n5){\small Résoudre};
  \foreach \i/\j in {n1/n2,n2/n3,n3/n4,n4/n5}
    \draw[->] (\i)--(\j);
\end{tikzpicture}
\caption{Étapes de résolution d’un problème de dynamique.}
\end{figure}

\vfill
\begin{tcolorbox}[title=\bfseries À retenir – Checklist]
\begin{itemize}[label=$\square$]
  \item Formules de Koenig / Huyghens pour l’inertie.
  \item Expressions des torseurs cinétique et dynamique aux points $G$ et $A$.
  \item Décomposition de l’énergie cinétique : translation + rotation.
  \item Énoncés et applications du PFD, TRD, TMD.
  \item Procédure pas-à-pas pour la mise en équations d’un problème dynamique.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}

\end{document}