We are given the polynomial:

$$P(x) = x^4 + ax^3 - 3x^2 + bx + c$$

with the roots $-1$ and $-2$. This means:

$$P(-1) = 0,\quad P(-2) = 0$$

Step 1: Use given roots to set up equations.

First, $P(-1) = 0$:

$$(-1)^4 + a(-1)^3 - 3(-1)^2 + b(-1) + c = 0$$

Simplify this:

$$1 - a - 3 - b + c = 0 \quad \Rightarrow \quad -a - b + c - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad a + b - c = -2$$

Thus, equation (1):

$$a + b - c = -2$$

Second, $P(-2) = 0$:

$$(-2)^4 + a(-2)^3 - 3(-2)^2 + b(-2) + c = 0$$

Simplify this:

$$16 - 8a - 12 - 2b + c = 0 \quad \Rightarrow \quad -8a - 2b + c + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad 8a + 2b - c = 4$$

Thus, equation (2):

$$8a + 2b - c = 4$$

Step 2: We now have a system of equations:

$$\begin{cases} a + b - c = -2 \\ 8a + 2b - c = 4 \end{cases}$$

Subtracting the first equation from the second:

$$(8a + 2b - c) - (a + b - c) = 4 - (-2)$$

Simplify:

$$7a + b = 6 \quad \Rightarrow \quad b = 6 - 7a$$

We have expressed $b$ in terms of $a$:

$$b = 6 - 7a$$

Step 3: Expressing polynomial in factorized form.

Since $-1$ and $-2$ are roots, we know the polynomial $P(x)$ can be factored partially as:

$$P(x) = (x + 1)(x + 2)(x^2 + mx + n)$$

Expand this form first to find relations:

$$P(x) = (x^2 + 3x + 2)(x^2 + mx + n)$$

Now, expand fully:

$$P(x) = x^4 + mx^3 + nx^2 + 3x^3 + 3mx^2 + 3nx + 2x^2 + 2mx + 2n$$

Combine like terms:

$$P(x) = x^4 + (m + 3)x^3 + (n + 3m + 2)x^2 + (3n + 2m)x + 2n$$

Match coefficients with original polynomial $P(x) = x^4 + ax^3 - 3x^2 + bx + c$:

• For $x^3$: $a = m + 3$
• For $x^2$: $-3 = n + 3m + 2$ → $n + 3m = -5$
• For $x$: $b = 3n + 2m$
• Constant term: $c = 2n$

Step 4: Solve equations to find $a$, $b$, $c$.

We already have one equation $a = m + 3$. Let's use this to simplify further.

From above, we have two equations now:

• $a = m + 3$
• $n + 3m = -5$

Recall from earlier: we also had $b = 6 - 7a$. But we also have an expression for $b$ from above: $b = 3n + 2m$. Set them equal to each other:

$$3n + 2m = 6 - 7a$$

But $a = m + 3$, substitute this:

$$3n + 2m = 6 - 7(m + 3) \quad \Rightarrow \quad 3n + 2m = 6 - 7m - 21 \quad \Rightarrow \quad 3n + 9m = -15$$

Now, we have the two equations clearly:

1. $n + 3m = -5$ (multiply this by 3 to make elimination easier)
2. $3n + 9m = -15$

Multiply the first equation by 3:

• $3n + 9m = -15$

Notice this is exactly the same as the second equation. This means we have infinite solutions depending on $m$. The two equations are not independent. We must have another step:

Since there's only one polynomial, and the only freedom we have left is choosing $m$. But notice we don't need the specific values of $a$, $b$, and $c$, we only need $P(3)$. Let's compute it directly using the factorized form since we have sufficient info for that.

Step 5: Compute $P(3)$:

We use the factorized form again:

$$P(x) = (x+1)(x+2)(x^2 + mx + n)$$

Substitute $x = 3$:

• Compute the first part: $(3+1)(3+2) = 4 \cdot 5 = 20$
• Compute the second part: we must find $3^2 + 3m + n = 9 + 3m + n$

Recall $n + 3m = -5$. Substitute this into the expression:

• $9 + 3m + n = 9 - 5 = 4$

Thus:

$$P(3) = 20 \cdot 4 = 80$$

✅ Final Answer:

$$P(3) = \boxed{80}$$

Подробно разберём задачу шаг за шагом на русском языке.

---

Шаг 1. Постановка задачи и анализ условий

Дана квадратичная функция:

$$y = x^2 - 3x + 5$$

На графике этой параболы отмечены точки:

• $A$, имеющая координату $x = 2$;
• $B$, имеющая координату $x = 9$;
• $P$, координата которой — $x = p$, причём $2 < p < 9$.

Тогда точки имеют координаты:

• $A(2, f(2))$;
• $B(9, f(9))$;
• $P(p, f(p))$.

Найдём координаты точек $A$ и $B$:

• $f(2) = 2^2 - 3\cdot 2 + 5 = 4 - 6 + 5 = 3$, значит $A(2, 3)$.
• $f(9) = 9^2 - 3\cdot 9 + 5 = 81 - 27 + 5 = 59$, значит $B(9, 59)$.

Точка $P(p, p^2 - 3p + 5)$.

---

Шаг 2. Геометрическая интерпретация

При соединении точек $A, P$ и $B, P$ и вместе с участком параболы получается две области:

• Область 1 ограничена дугой параболы от $A$ до $P$ и прямым отрезком $AP$.
• Область 2 ограничена дугой параболы от $P$ до $B$ и прямым отрезком $BP$.

Общая площадь этих двух областей зависит от координаты $p$.

Важно заметить, что сумма этих двух областей — это площадь фигуры, ограниченной дугой параболы и двумя хордами $AP$ и $PB$.

---

Шаг 3. Анализ минимальности площади

Сумма площадей двух областей будет минимальна, если хорды $AP$ и $PB$ максимально «близко» повторяют саму параболу, то есть когда точки $A, P, B$ будут лежать примерно на одной прямой или близко к этому условию.

Заметим, что сумма площадей будет минимальна в точке, когда касательная к графику функции в точке $P$ параллельна прямой, соединяющей точки $A$ и $B$.

Это следует из того, что минимальность суммарной площади достигается при максимальном приближении хорд к графику, что соответствует касательной, параллельной прямой $AB$.

Таким образом, ключевой момент:

Для минимальной суммарной площади прямая $AB$ должна быть параллельна касательной в точке $P$.

---

Шаг 4. Находим касательную в точке $P$

Функция:

$$y = x^2 - 3x + 5$$

Производная (наклон касательной):

$$y' = 2x - 3$$

В точке $P(p)$ наклон касательной равен:

$$k_{\text{кас}} = 2p - 3$$

---

Шаг 5. Находим наклон прямой $AB$

Имеем две точки $A(2,3)$ и $B(9,59)$:

$$k_{AB} = \frac{59 - 3}{9 - 2} = \frac{56}{7} = 8$$

Наклон прямой $AB = 8$.

---

Шаг 6. Уравниваем наклоны для минимизации площади

Чтобы сумма площадей была минимальна, касательная в точке $P$ должна быть параллельна прямой $AB$, значит их наклоны равны:

$$2p - 3 = 8$$

Отсюда получаем:

$$2p = 8 + 3$$ $$2p = 11$$ $$p = \frac{11}{2} = 5.5$$

---

✅ Окончательный ответ:

Значение $p$, при котором сумма площадей минимальна:

$$p = \boxed{5.5}$$