Вы - лауреат нобелевской премии по дискретной мате...

Благодарю за задачи и за вашу любознательность! Вы прислали изображения с задачами из учебника, и я их вижу. Начнём с подробного и понятного разбора каждой указанной вами задачи.

---

🔹 Задача 2.3.1 (a, в, г, е)

Проверить, является ли функция гомоморфизмом алгебры $\mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$:

---

(а)

$$\mathcal{A} = \langle \mathbb{Z}; \cdot \rangle,\quad \mathcal{B} = \langle \mathbb{Z}_0^+; \cdot \rangle,\quad \varphi(z) = |z|$$

Проверка гомоморфизма:
Для $\varphi$ быть гомоморфизмом, должно выполняться:

$$\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b)$$ $$\varphi(ab) = |ab| = |a||b| = \varphi(a)\varphi(b) \Rightarrow \text{Да, это гомоморфизм.}$$

---

(в)

$$\mathcal{A} = \langle \mathbb{C}; + \rangle,\quad \mathcal{B} = \langle \mathbb{R}; + \rangle,\quad \varphi(z) = |z|$$

Проверка аддитивного гомоморфизма:

$$\varphi(z_1 + z_2) = |z_1 + z_2| \neq |z_1| + |z_2| = \varphi(z_1) + \varphi(z_2)$$

Противоположное неравенство: $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$

$$\Rightarrow \text{Не гомоморфизм.}$$

---

(г)

$$\mathcal{A} = \langle \mathbb{Z}; + \rangle,\quad \mathcal{B} = \langle \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \}; \cdot \rangle,\quad \varphi(n) = e^{i\frac{n\pi}{3}}$$

Проверка:

$$\varphi(n+m) = e^{i\frac{(n+m)\pi}{3}} = e^{i\frac{n\pi}{3}} \cdot e^{i\frac{m\pi}{3}} = \varphi(n) \cdot \varphi(m) \Rightarrow \text{Да, гомоморфизм.}$$

---

(е)

$$\mathcal{A} = \{0,1,2,\dots,35\},\ \oplus,\quad \mathcal{B} = \{0,1,\dots,7\},\ \odot,\quad \varphi(n) = 2n \mod 8$$

Пусть $a, b \in \mathcal{A}$, тогда:

• $\varphi(a \oplus b) = 2(a + b \mod 36) \mod 8$
• $\varphi(a) \odot \varphi(b) = (2a \mod 8 + 2b \mod 8) \mod 8 = 2(a + b) \mod 8$

Однако нужно быть осторожным: если $a + b \geq 36$, то $a \oplus b = a + b - 36$, но:

$$\varphi(a \oplus b) = 2(a + b - 36) \mod 8 = 2(a + b) \mod 8 \Rightarrow \text{равно}$$

→ Всегда выполняется:

$$\Rightarrow \text{Да, это гомоморфизм.}$$

---

🔹 Задача 2.3.2 (в, г, д, ж)

Доказать изоморфизм алгебр

---

(в)

$$C = \{a + b\sqrt{2} \mid a,b \in \mathbb{Z} \},\quad D = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 2b & a \end{pmatrix} \middle| a,b \in \mathbb{Z} \right\}$$

Рассмотрим отображение:

$$\varphi(a + b\sqrt{2}) = \begin{pmatrix} a & b \\ 2b & a \end{pmatrix}$$

Проверка:

• Сложение: линейно
• Умножение:

$$(a + b\sqrt{2})(c + d\sqrt{2}) = ac + 2bd + (ad + bc)\sqrt{2}$$

Матрицы:

$$\begin{pmatrix} a & b \\ 2b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & d \\ 2d & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac + 2bd & ad + bc \\ 2(ad + bc) & ac + 2bd \end{pmatrix}$$

→ Полное соответствие: Изоморфизм доказан.

---

(г)

$$C = \{a + bi\},\quad E = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \right\}$$

Аналогично, $\varphi(a + bi) = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}$
Это известное представление комплексных чисел через матрицы — сохраняет сложение и умножение.

Изоморфизм доказан.

---

(д)

$$Z_2^2,\ \oplus,\quad F = \{2^m \cdot 3^n\},\quad \cdot$$

Зададим биекцию:

• (0,0) → 1
• (1,0) → 2
• (0,1) → 3
• (1,1) → 6

Проверим:

$$(1,0) \oplus (0,1) = (1,1) \Rightarrow 2 \cdot 3 = 6$$ (1,0) \oplus (1,0) = (0,0) \Rightarrow 2 \cdot 2 = 4 ≠ 1 ⇒ \text{НЕ соответствует!}

→ Изоморфизм не установлен, возможно ошибка в определении (нужна точная операция).

---

(ж)

$$\mathbb{Z}, \cdot,\quad \langle 2\mathbb{Z}; \circ \rangle,\quad a \circ b = \frac{ab}{2}$$

Рассмотрим отображение $\varphi(x) = 2x$

$$\varphi(a \cdot b) = 2ab,\quad \varphi(a) \circ \varphi(b) = \frac{(2a)(2b)}{2} = 2ab \Rightarrow \text{Да, изоморфизм.}$$

---

🔹 Задача 2.4.1 (б, в, г)

Найти все подалгебры по таблицам Кэли (см. 2.2.2)

---

(б)

Группа взаимно простых с 36 чисел от 1 до 35. Это $\mathbb{Z}_{36}^*$, операция — умножение по модулю 36. Подгруппы ищем по подгрупповому критерию Лагранжа (порядок делит 12).

Ищем подгруппы порядка 2, 3, 4, 6:

• Например, порядок 6: $\{1, 5, 25, 13, 17, 29\}$
• Проверяем замкнутость, наличие единицы и обратного

---

(в)

Кватернионы: $\{1, -1, i, -i, j, -j, k, -k\}$

Подгруппы:

• $\{1, -1\}$ — тривиальная
• $\{1, -1, i, -i\}$
• $\{1, -1, j, -j\}$
• $\{1, -1, k, -k\}$

---

(г)

Матрицы:

$$\left( \begin{matrix} a & 0 \\ 0 & b \end{matrix} \right),\quad a \in \{0,1\}, b \in \{0,1,2\}$$

Всего 6 элементов. Используем сложение по модулю соответствующих компонент. Анализируя таблицу, находим подгруппы как подмножества, замкнутые относительно этой операции.

---

🔹 Задача 2.4.2 (а, в, г, д, ж)

---

(а)

$$\mathcal{A} = \langle \mathbb{Z}; + \rangle,\quad X = \{-1, 3\}$$

Подгруппа, порождённая X:

• Замкнута по сложению: линейные комбинации элементов $-1$ и $3$

Наименьшая подгруппа: $\mathbb{Z}$, так как НОД(1, 3) = 1

---

(в)

$$\mathcal{A} = \mathbb{Z}_3^3,\quad X = \{(1, 0, 1), (2, 0, 0)\}$$

Порождающее множество → строим подпространство над $\mathbb{Z}_3$, линейные комбинации векторной арифметики.

---

(г)

$$\mathbb{Z}_3^3,\quad \Theta\text{-операция},\quad X = \{(1,0,1), (0,2,0)\}$$

Та же логика — генерация замкнутого подмножества по данной операции.

---

(д)

$$\mathbb{R}_+,\quad \sqrt{x} \text{ как операция},\quad X = \{3\}$$

Ищем минимальное множество, замкнутое под $x \mapsto \sqrt{x}$

→ $\{3, \sqrt{3}, \sqrt{\sqrt{3}}, \dots\}$

---

(ж)

$$\mathbb{Z}; +,\quad X = \{3,4\} \Rightarrow \text{Порождает подгруппу } d = \gcd(3,4) = 1 \Rightarrow \mathbb{Z}$$

---

Если хотите, я могу продолжить с остальными пунктами или построить таблицы Кэли вручную.

Отличный вопрос! Установление изоморфизма алгебрических структур — ключевая часть дискретной математики и алгебры. Давайте разберёмся пошагово, что такое изоморфизм и как его устанавливают на практике.

---

🔹 Что такое изоморфизм?

Пусть у нас есть две алгебры (или алгебраические структуры):

• $\mathcal{A} = \langle A, \ast \rangle$
• $\mathcal{B} = \langle B, \circ \rangle$

Изоморфизм между ними — это биекция $\varphi: A \to B$, которая сохраняет операции:

$$\forall a_1, a_2 \in A:\quad \varphi(a_1 \ast a_2) = \varphi(a_1) \circ \varphi(a_2)$$

---

🔹 Как установить изоморфизм: пошаговая инструкция

✅ Шаг 1. Найти подходящее отображение $\varphi$

Обычно его угадывают или строят, исходя из структуры $A$ и $B$.

Примеры:

• Для $\mathbb{Z} \to 2\mathbb{Z}$ можно взять $\varphi(n) = 2n$
• Для комплексных чисел $a + bi$ и матриц $\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}$ — это классическое представление

---

✅ Шаг 2. Проверить, что $\varphi$ — биекция

1. Инъективность (взаимно однозначно):

   $$\varphi(a_1) = \varphi(a_2) \Rightarrow a_1 = a_2$$

2. Сюръективность (всё покрывает): Для каждого $b \in B$, найдётся $a \in A$, такое что $\varphi(a) = b$

Обычно это проверяется или аргументом "размеров" (если обе конечны и одинаковы), или напрямую.

---

✅ Шаг 3. Проверить сохранение операций

Нужно строго доказать:

$$\varphi(a_1 \ast a_2) = \varphi(a_1) \circ \varphi(a_2)$$

Это самый главный момент. Для двух операций (например, и сложение, и умножение) надо проверять обе.

---

✅ Шаг 4. Проверка нейтральных и обратных (если есть)

Если речь идёт о группах или кольцах, нужно убедиться, что:

• $\varphi(e_A) = e_B$ (нейтральный элемент переходит в нейтральный)
• $\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}$

---

🔹 Пример: изоморфизм $\mathbb{C} \leftrightarrow \text{матрицы}$

Структуры:

• $\mathcal{A} = \mathbb{C},\quad a + bi$
• $\mathcal{B} = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a,b \in \mathbb{R} \right\}$

Отображение:

$$\varphi(a + bi) = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}$$

Сохранение операций:

• Сложение: очевидно
• Умножение:

$$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$$

А матрично:

$$\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & d \\ -d & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac - bd & ad + bc \\ -(ad + bc) & ac - bd \end{pmatrix}$$

То есть:

$$\varphi(a+bi)\cdot \varphi(c+di) = \varphi((a+bi)(c+di)) \Rightarrow \text{изоморфизм подтверждён.}$$

---

🔹 Советы по построению изоморфизма

Когда	Что пробовать
$\mathbb{Z}$ и $2\mathbb{Z}$	Умножение на 2
Комплексные числа и матрицы	Классическое представление
$\mathbb{Z}_p^n$ и подмножества	Сопоставление по индексам
Нестандартные операции	Проверка вручную каждой пары

---

Если у вас есть конкретный пример, где вы хотите найти или построить изоморфизм, я могу разобрать его вместе с вами по шагам!