Исследовать сходимость разностной схемы к решению ...

Решаемая задача

Рассмотрим задачу Коши для линейного уравнения переноса (или транспортного уравнения) с источником:

$$\begin{cases} u_t = a\,u_x + f(x,t), \\ u(x,0) = g(x), \end{cases} \quad -\infty < x < \infty,\quad 0\le t \le T.$$

Здесь $a$ есть константа (скорость переноса), $f(x,t)$ – заданная функция (источник/сток), $g(x)$ – начальное условие.

---

Разностная аппроксимация

Введём равномерную сетку по пространственной переменной $x$ с шагом $h$ и по времени с шагом $\tau$:

$$x_m = m h,\quad m \in \mathbb{Z}; \qquad t_n = n\,\tau,\quad n = 0,1,2,\dots,N,\quad N\tau = T.$$

Обозначим $u_m^n \approx u(x_m, t_n)$ – приближённое решение в точке $(m,n)$. Схема из условия задачи имеет вид:

$$\frac{u_m^n - u_m^{n-1}}{\tau} = a\,\frac{u_{m+1}^n - u_{m-1}^n}{2h} \;+\; f_m^n,$$ $$u_m^0 = g(x_m).$$

Здесь $f_m^n \approx f(x_m, t_n)$. Заметим, что по времени мы используем разностную аппроксимацию $u_t \approx \bigl(u_m^n - u_m^{n-1}\bigr)/\tau$, а по пространству – центральную разностную аппроксимацию $u_x \approx \bigl(u_{m+1}^n - u_{m-1}^n\bigr)/(2h)$.

---

1. Исследование согласованности (порядок аппроксимации)

Идея: подставить в разностную схему точное решение $u(x_m,t_n)$ задачи и оценить «ошибку замещения» (local truncation error).

1. Для производной по времени:

   $$u_t(x,t) \;=\; \frac{u(x,t+\tfrac{\tau}{2}) - u(x,t-\tfrac{\tau}{2})}{\tau} \;+\; O(\tau^2),$$

   а используемая в схеме одношаговая разность $\dfrac{u_m^n - u_m^{n-1}}{\tau}$ даёт

   $$\frac{u(x_m,t_n) - u(x_m,t_{n-1})}{\tau} \;=\; u_t(x_m,t_n) + O(\tau).$$

   Следовательно, по времени ошибка порядка $O(\tau)$.

2. Для производной по $x$ берётся центральная разность:

   $$u_x(x,t) \;\approx\; \frac{u(x+h,t) - u(x-h,t)}{2h},$$

   которая даёт погрешность $O(h^2)$.

Таким образом, подстановка точного решения $u$ в левую и правую часть схемы показывает, что локальная погрешность аппроксимации

$$\Delta_{m}^n =\; \frac{u(x_m, t_n) - u(x_m, t_{n-1})}{\tau} - a \frac{u(x_m + h,t_n) - u(x_m - h,t_n)}{2h} - f(x_m,t_n)$$

будет порядка

$$O(\tau) \;+\; O(h^2).$$

Отсюда заключаем, что схема согласованна с точным уравнением и обладает порядком аппроксимации

$$O(\tau + h^2).$$

---

2. Исследование устойчивости

Рассмотрим однородный случай $f \equiv 0$ (это упростит анализ устойчивости). Определение устойчивости (по Лаксу) в линейном случае удобно проверять методом Фурье (методом норм Михлина).

2.1. Метод Фурье

Ищем решение схемы в виде гармоники

$$u_m^n = \mu^n\, e^{\,i\,\alpha\,m},$$

где $\alpha$ – волновое число (фиксированное), $\mu$ – соответствующий множитель по времени. Подставляя это в однородную схему $\tfrac{u_m^n - u_m^{n-1}}{\tau} = a \tfrac{u_{m+1}^n - u_{m-1}^n}{2h}$, получаем:

$$\frac{\mu^n - \mu^{n-1}}{\tau} \, e^{\,i\,\alpha\,m} \;=\; a \,\frac{\mu^n e^{\,i\,\alpha (m+1)} - \mu^n e^{\,i\,\alpha (m-1)}}{2h}.$$

Сократив на $\mu^{n-1} e^{\,i\,\alpha m}$, имеем

$$\frac{\mu - 1}{\tau} \;=\; \mu\, \frac{a}{2h} \bigl(e^{\,i\alpha} - e^{-\,i\alpha}\bigr).$$

Заметим, что $\tfrac{e^{\,i\alpha} - e^{-\,i\alpha}}{2} = i \,\sin \alpha$. Тогда

$$\mu - 1 \;=\; \mu\, \frac{a\,\tau}{h}\, \frac{i\,\sin \alpha}{1} \;=\; \mu\, i\,\nu\, \sin \alpha, \quad \nu := \frac{a\,\tau}{h}.$$

Отсюда

$$\mu = \frac{1}{1 - i\,\nu\,\sin \alpha}.$$

Оценим модуль $\mu$:

$$|\mu| \;=\; \frac{1}{|\,1 - i\,\nu\,\sin \alpha\,|}.$$

Но

$$|\,1 - i\,c\,|^2 = 1 + c^2 \;\;\Longrightarrow\;\; |\,1 - i\,c\,| = \sqrt{1 + c^2} \,\ge 1.$$

Следовательно,

$$|\mu| \;=\; \frac{1}{\sqrt{\,1 + (\nu\,\sin \alpha)^2\,}} \;\le\; 1.$$

Для $\alpha \ne 0,\pi$ неравенство строгое, т.е. $|\mu|<1$. Лишь при $\sin\alpha = 0$ (это $\alpha = k\pi$) имеем $|\mu|=1$. Таким образом, множитель $\mu$ не превосходит 1 по модулю и не уходит за границу единичного круга.

Это показывает, что для всех $\alpha$ и при любой величине $\nu = \tfrac{a\tau}{h}$ решение не растёт по норме. Следовательно, схема по методу Фурье устойчива без условия на отношение $\tfrac{\tau}{h}$ (т.е. не требуется привычное условие типа $\vert a\vert \,\tfrac{\tau}{h}\le 1$, которое возникает у многих других схем переноса).

2.2. Устойчивость при $f \neq 0$

Для схем с правой частью $f_m^n$ (линейный невырожденный оператор при $u_m^n$) стандартный приём показывает, что присутствие «источника» не нарушает устойчивость. Детали можно увидеть, например, через оценку $\|u^n\|$ методом Фурье или через энерги$ю$-подобные (нормированные) оценки.

---

3. Вывод о сходимости

По теореме Лакса (или теореме эквивалентности для линейных задач):

Если схема линейна, устойчива и согласована с исходным уравнением, то решения разностной схемы сходятся к точному решению дифференциальной задачи при $h,\tau \to 0$.

Мы уже выяснили:

1. Согласованность: погрешность аппроксимации $\,O(\tau + h^2)$.
2. Устойчивость: метод Фурье показал $\|u^n\|$ не растёт (по крайней мере, не быстрее постоянного во времени).

Значит, схема сходится к истинному решению задачи, причём при $\tau \to 0$ и $h \to 0$ оценка погрешности будет порядка

$$\|u(\cdot,t_n) - u^n\|\;\le\; C\,(\tau + h^2).$$

---

4. Итоговые замечания

1. Полученная разностная схема может быть интерпретирована как двухслойная во времени, но с центральной аппроксимацией по пространству, где значения в узлах $(m+1,n)$ и $(m-1,n)$ входят в ту же (``n-ую'') временную слой. Формально это даёт «полунеявность» по пространству, так как $u_m^n$ выражается через соседние узлы того же $n$-го слоя и предыдущего $(n-1)$-го:

   $$u_m^n \;=\; u_m^{n-1} \;+\; \tau \, a \,\frac{u_{m+1}^n - u_{m-1}^n}{2h} \;+\; \tau\,f_m^n.$$

   Обычно для реализации на каждом шаге $n$ нужно решать систему линейных алгебраических уравнений (если число узлов по $x$ конечно). Однако в силу специфики оператора (в данном случае это чистый перенос), решение такой системы не требует классического $\mathrm{LU}$-разложения, а может быть найдено более простыми методами (например, сдвиговой интерпретацией). Но в любом случае она оказывается устойчивой без условия на $\tfrac{\tau}{h}$.

2. Порядок сходимости по времени равен $O(\tau)$, а по пространству – $O(h^2)$. Для повышения порядка по времени (до $O(\tau^2)$) часто используют схему «leap-frog» (центральная разность по времени $\tfrac{u_m^{n+1} - u_m^{n-1}}{2\tau}$) или схемы типа Лакса–Вендрофф и т.п. Но в задаче, представленной в условии, разностная аппроксимация $u_t$ явно взята с точностью $O(\tau)$.

---

Заключение

• Схема согласована с исходной дифференциальной задачей с порядком $O(\tau + h^2)$.
• Схема устойчива (методом Фурье получается, что все «моды» не превышают 1 по модулю).
• По теореме об эквивалентности (Лакса–Рихтмайера) схема сходится к решению задачи при $\tau \to 0$, $h \to 0$ и обладает итоговой оценкой погрешности порядка $\tau + h^2$.

Таким образом, данная центральная разностная схема (с двухслойным временем и центральной разностью по $x$) гарантированно сходится и при правильной реализации не требует жёсткого условия типа $\tfrac{|a|\tau}{h} \le 1$.