Исследовать сходимость разностной схемы к решению ...

Наблюдается несоответствие между данным уравнением $u_t = a\,u_{xx} + f$ (диффузионного типа) и предложенной разностной схемой, в которой для пространственной производной взята центральная разность $\tfrac{u_{m+1}^n - u_{m-1}^n}{2h}$, соответствующая первой производной по $x$, а не второй. Ниже приведён стандартный анализ (через локальную погрешность и критерий согласованности), из которого видно, что данная схема не согласована с исходным уравнением и, следовательно, не может сходиться к его решению.

---

1. Формулировка задачи

Дано дифференциальное уравнение (теплопроводности с источником):

$$\begin{cases} u_t = a\,u_{xx} + f(x,t), \quad &-\infty < x < \infty,\; 0 < t \le T,\\ u(x,0) = g(x), \end{cases}$$

и разностная схема

$$\frac{u_m^n - u_m^{n-1}}{\tau} \;=\; a\,\frac{u_{m+1}^n - u_{m-1}^n}{2h} \;+\; f_m^n,$$

где $x_m = m\,h$, $t_n = n\,\tau$, $\tau = T/N$. Начальное условие в дискретном виде: $u_m^0 = g(x_m)$.

Требуется выяснить, сходится ли эта схема к решению исходной дифференциальной задачи.

---

2. Анализ согласованности (локальная погрешность)

Для исследования согласованности сравнивают дифференциальное уравнение с «разностным аналогом», подставляя точное (гладкое) решение $U(x,t)$ в схему и рассматривая так называемую локальную погрешность. Если локальная погрешность стремится к нулю при $h,\tau \to 0$, то схема называется согласованной с исходным уравнением (на уровне первого приближения).

2.1. Подстановка точного решения в схему

Пусть $U(x,t)$ — точное решение уравнения:

$$U_t = a\,U_{xx} + f(x,t), \quad U(x,0) = g(x).$$

Рассмотрим точки сетки $(x_m,t_n)$. Подставим $U_m^n := U(x_m,t_n)$ в разностное уравнение:

$$\frac{U_m^n - U_m^{n-1}}{\tau} \;\stackrel{?}{=} \; a\,\frac{U_{m+1}^n - U_{m-1}^n}{2h} \;+\; f_m^n,$$

где $f_m^n = f(x_m, t_n)$.

Левая часть (аппроксимация $U_t$)

Центрированная по времени разность «назад» с шагом $\tau$:

$$\frac{U_m^n - U_m^{n-1}}{\tau} \approx U_t(x_m,t_n)$$

имеет погрешность порядка $\mathcal{O}(\tau)$ (если брать разность «вперёд» или «назад», это даёт первый порядок по времени).

Правая часть (аппроксимация $a\,U_{xx}$)

Вместо второй производной $U_{xx}(x_m,t_n)$ в схеме фактически стоит

$$\frac{U_{m+1}^n - U_{m-1}^n}{2h},$$

что является центральной разностью для первой производной $U_x$, а не второй!

Если мы разложим $U$ в окрестности $(x_m,t_n)$ в ряд Тейлора по переменной $x$, то для $U_{m+1}^n$ и $U_{m-1}^n$ получим:

$$U(x_{m+1}, t_n) = U(x_m, t_n) + h\,U_x(x_m,t_n) + \tfrac{h^2}{2}\,U_{xx}(x_m,t_n) + \dots$$ $$U(x_{m-1}, t_n) = U(x_m, t_n) - h\,U_x(x_m,t_n) + \tfrac{h^2}{2}\,U_{xx}(x_m,t_n) + \dots$$

Прибавляя эти выражения, видно, что

$$U_{m+1}^n - U_{m-1}^n \;=\; 2\,h\,U_x(x_m,t_n) + \mathcal{O}(h^3).$$

Следовательно,

$$\frac{U_{m+1}^n - U_{m-1}^n}{2h} \;=\; U_x(x_m,t_n) + \mathcal{O}(h^2).$$

Таким образом, правая часть схемы

$$a\,\frac{U_{m+1}^n - U_{m-1}^n}{2h} \;+\; f_m^n$$

аппроксимирует $a\,U_x + f$, а не $a\,U_{xx} + f$.

2.2. Вывод о (не)согласованности

Итоговая локальная погрешность при подстановке точного решения в схему выглядит так:

$$\underbrace{\frac{U_m^n - U_m^{n-1}}{\tau}}_{\approx U_t} \;-\; \underbrace{ \Bigl[ a\,\frac{U_{m+1}^n - U_{m-1}^n}{2h} + f_m^n \Bigr] }_{\approx a\,U_x + f} \;\;=\;\; \bigl(U_t - a\,U_x - f\bigr)\bigl|_{(x_m,t_n)} \;+\;\text{(малые члены)}.$$

Но исходное уравнение гласит:

$$U_t - a\,U_{xx} - f = 0.$$

Значит, при $\tau\to 0$, $h\to 0$ мы получаем не $\bigl(U_t - a\,U_{xx} - f\bigr)\to 0,$ а $\bigl(U_t - a\,U_{x} - f\bigr)\to 0.$

Таким образом, схема согласована (как минимум в главном приближении) с уравнением

$$u_t = a\,u_{x} + f,$$

но не с исходным уравнением

$$u_t = a\,u_{xx} + f.$$

Отсюда следует, что локальная погрешность не стремится к нулю в смысле аппроксимации именно $u_t - a\,u_{xx} - f = 0$. Следовательно, данная разностная схема не согласована с исходным уравнением теплопроводности.

---

3. Следствие о сходимости

По теореме Лакса (или Лакса–Рихмира) для линейных разностных схем: если схема устойчива и согласована с дифференциальной задачей, то она сходится к её решению (и наоборот, при определённых условиях).

Здесь же выясняется, что согласованности нет, значит, даже если по каким-то причинам такая схема окажется формально «устойчивой» (для какого-то другого уравнения), она не будет приближать решение исходной задачи:

$$u_t = a\,u_{xx} + f.$$

Иными словами, сходимости к решению данного уравнения не будет.

---

4. Итог

1. Согласованность. Предложенная разностная схема аппроксимирует в пространстве первую производную $u_x$ вместо второй $u_{xx}$. Следовательно, она не согласована с уравнением теплопроводности $u_t = a\,u_{xx} + f$.

2. Сходимость. Из-за отсутствия согласованности схема не может сходиться к решению исходного уравнения (даже при малых $h,\tau$). Для соответствующей начально-краевой задачи схема даст решение, которое приближает совсем другую задачу, в которой стоит $u_t = a\,u_{x} + f$.

Таким образом, разностная схема не сходится к решению исходной дифференциальной задачи.