объясни как работает variational inequality для за...

объясни что здесь происходит:

Variational inequalities for convex cost functions. Let X ⊂ R
d
and F : X → R
d be a continuous mapping. The variational inequality problem (Harker and Pang, 1990) is:
find x
∗ ∈ X such that F(x
∗
)

(x − x
∗
) ≥ 0 , ∀x ∈ X . (VIP)
We call optimal set the set X
∗ of x ∈ X verifying (VIP). A standard assumption on F is monotonicity:
(F(x) − F(y))>(x − y) ≥ 0 ∀ x, y ∈ X . (8)
If F(x) = ∇f(x), it is equivalent to f being convex. If F can be written as (6), it implies that the cost functions are convex.6 When the operator F is monotone, we have that
F(x
∗
)
(x − x
∗
) ≤ F(x)
(x − x
∗
), ∀x, x
∗
. Hence, in this case (VIP) implies a stronger
formulation sometimes called Minty variational inequality (Crespi et al., 2005):
find x
∗ ∈ X such that F(x)
(x − x
∗
) ≥ 0 , ∀x ∈ X . (MVI)
This formulation is stronger in the sense that if (MVI) holds for some x
∗ ∈ X , then (VIP) holds
too. A merit function useful for our analysis can be derived from this formulation. Roughly, a merit
function is a convergence measure. More formally, a function g : X → R is called a merit function
if g is non-negative such that g(x) = 0 ⇔ x ∈ X ∗
(Larsson and Patriksson, 1994). A way to derive
a merit function from (MVI) would be to use g(x
∗
) = supx∈X F(x)
(x
∗ − x) which is zero if and
only if (MVI) holds for x
∗
. To deal with unbounded constraint sets (leading to a potentially infinite
valued function outside of the optimal set), we use the restricted merit function (Nesterov, 2007):
ErrR(xt)
def
= max
x∈X ,kx−x0k≤R
F(x)
(xt − x). (9)
This function acts as merit function for (VIP) on the interior of the open ball of radius R around x0,
as shown in Lemma 1 of Nesterov (2007). That is, let XR := X ∩ {x : kx − x0k < R}. Then for
any point xˆ ∈ XR, we have:
ErrR(xˆ) = 0 ⇔ xˆ ∈ X ∗ ∩ XR. (10)
The reference point x0 is arbitrary, but in practice it is usually the initialization point of the algorithm.
R has to be big enough to ensure that XR contains a solution. ErrR measures how much (MVI) is
violated on the restriction XR. Such merit function is standard in the variational inequality literature.
A similar one is used in (Nemirovski, 2004; Juditsky et al., 2011). When F is derived from the
gradients (6) of a zero-sum game (SP), we can define a more interpretable merit function (see
App. B.1). One has to be careful though when extending properties from the minimization setting to
the saddle point setting (e.g. the merit function used by Yadav et al. (2018) is vacuous for a bilinear
game as explained in App B.2).

Ниже краткое объяснение того, что описывается в приведённом фрагменте:

Задача вариационного неравенства (VIP)
- Формально, VIP сформулирована так: найти $x^* \in X$ , где $X \subset \mathbb{R}^d$ , такое что $F(x^*)^\top (x - x^*) \;\ge\; 0 \quad \forall x \in X.$
- $F : X \to \mathbb{R}^d$ — непрерывное отображение. Геометрически это условие означает, что «вектор» $F(x^*)$ не образует отрицательного угла с любым направлением $(x - x^*)$ , если $x^*$ — решение.
- Такая задача часто встречается в оптимизации и в теории игр (например, в задаче поиска равновесия, когда $F$ является набором градиентов функций выигрыша/стоимости).
Монотонность оператора $F$
- Предполагается (стандартно), что $F$ монотонно, то есть $(F(x) - F(y))^\top (x - y) \;\ge\; 0 \quad \forall x, y \in X.$
- Если $F(x) = \nabla f(x)$ для некоторой функции $f$ , тогда монотонность $F$ эквивалентна выпуклости $f$ .
- В контексте (SP) (zero-sum game) функция $F$ получается из градиентов функций стоимости/выигрыша игроков, что также даёт выпуклость в соответствующей постановке.
Стандартное и «укреплённое» вариационное неравенство
- Обычная формулировка (VIP) — это та, что дана выше: $F(x^*)^\top (x - x^*) \ge 0$ .
- Существует более сильная формулировка — Minty variational inequality (MVI): $\text{найти } x^* \in X \text{ такое, что} \quad F(x)^\top (x - x^*) \;\ge\; 0 \quad \forall x \in X.$
- Разница в том, что в (VIP) вектор $F(x^*)$ берётся в точке решения $x^*$ , а в (MVI) вектор $F(x)$ может смотреться во всех точках $x \in X$ . При монотонности $F$ из (MVI) следует (VIP), то есть (MVI) «сильнее» (требует более жёсткого условия, но при монотонности они эквивалентны в том смысле, что если (MVI) выполнено, то и (VIP) тоже).
Мерит-функции и их роль
- Мерит-функция (merit function) служит для измерения «близости» к решению вариационного неравенства. Это скалярная функция $g(x)$ $g (x)$ , которая:
  1. неотрицательна,
  2. равна нулю тогда и только тогда, когда $x$ является решением (то есть $x \in X^*$ ).
- Исходя из формулировки (MVI), авторы предлагают смотреть на $g(x^*) = \sup_{x \in X} \; F(x)^\top (x^* - x).$ Если этот $\sup$ равен нулю, тогда выполняется (MVI), а значит $x^*$ — решение.
- Проблема: если множество $X$ неограниченно, $\sup$ может быть бесконечным и мерит-функция может «срываться» в бесконечность за пределами области интереса. Поэтому вводят ограниченную мерит-функцию: $\mathrm{Err}_R(x^t) \;=\; \max_{\substack{x \in X \\ \|x - x_0\|\,\le R}} \; F(x)^\top (x^t - x),$ где $x_0$ — некоторая опорная точка (часто начальное приближение).
- Идея в том, что берётся ограниченная область $X \cap \{x : \|x - x_0\| < R\}$ и на ней «мерится» наибольшее нарушение MVI. Если $\mathrm{Err}_R(x) = 0$ , это значит, что $x$ «приблизительно» (с точки зрения этой области) удовлетворяет вариационному неравенству.
Почему это нужно
- Такие мерит-функции часто применяются при анализе сходимости алгоритмов (например, методов градиентной оптимизации или методов решения седловых задач).
- Если $\mathrm{Err}_R(x) \to 0$ при итерациях алгоритма, это означает, что $x$ стремится к решению VIP (по крайней мере внутри шара радиуса $R$ ).
Связь с играми
- Когда $F$ получается из градиентов в задаче седловой точки (например, в нулевой-сумме игре), то (VIP) эквивалентна поиску седлового решения. Мерит-функции позволяют оценивать прогресс итеративных методов (например, методов типа «gradient descent – gradient ascent»).
- Авторы также упоминают, что нужно осторожно переносить свойства из «обычной» задачи минимизации на задачу седловых точек (там могут возникать специальные случаи вроде билинейных игр, где некоторые мерит-функции могут оказываться «пустыми» или всегда равняться константе).

Итого, в тексте описывается:

Что такое классическая постановка вариационного неравенства (VIP).
Как монотонность оператора $F$ приводит к эквивалентной, но более «строгой» формулировке MVI.
Как, опираясь на MVI, вводятся мерит-функции (convergence measures), чтобы оценивать и измерять «насколько текущее приближение близко к решению».
Как решается проблема неограниченного множества (берётся «ограниченная» версия мерит-функции, $\mathrm{Err}_R$ ).
Зачем это важно на практике (при анализе сходимости алгоритмов в контексте оптимизации и игр).

объясни как работает variational inequality для за...

Вопрос

Мысль

Ответ

Поделиться этим Q&A