**Условие задачи:** Доказать, что оператор \( A: ...

Решим задачу пошагово и подробно:

---

Шаг 1: Проверка ограниченности оператора

Дано: Оператор $A: \mathbb{L}_2(0,+\infty) \to c$ задан формулой

$$(Ax)(k) = \int_0^k \frac{x(t)}{1+t}\, dt,\quad k \in \mathbb{N}, \quad x \in \mathbb{L}_2(0,+\infty),$$

где $c$ — пространство всех сходящихся числовых последовательностей с нормой

$$\|y\|_c = \sup_{k\in \mathbb{N}}|y(k)|, \quad y \in c.$$

Для проверки ограниченности необходимо показать, что существует константа $C>0$, такая что

$$\|Ax\|_c = \sup_{k\in \mathbb{N}}\left|\int_0^k\frac{x(t)}{1+t}dt\right|\leq C\|x\|_{\mathbb{L}_2},\quad \forall x\in \mathbb{L}_2(0,+\infty).$$

Используем неравенство Коши—Буняковского (Гельдера):

$$\left|\int_0^k \frac{x(t)}{1+t} dt\right|\leq\left(\int_0^k |x(t)|^2 dt\right)^{1/2}\left(\int_0^k\frac{dt}{(1+t)^2}\right)^{1/2}.$$

Оценим интеграл:

$$\int_0^k \frac{dt}{(1+t)^2} = 1 - \frac{1}{1+k}<1,\quad \forall k.$$

Таким образом, получаем оценку:

$$|(Ax)(k)| \leq \left(\int_0^{+\infty}|x(t)|^2 dt\right)^{1/2}\cdot 1 = \|x\|_{\mathbb{L}_2},\quad \forall k.$$

Это значит, что

$$\|Ax\|_c = \sup_{k\in \mathbb{N}}|(Ax)(k)|\leq \|x\|_{\mathbb{L}_2}.$$

Следовательно, оператор ограничен и его норма не превосходит $1$:

$$\|A\|\leq 1.$$

---

Шаг 2: Поиск сопряженного оператора

Рассмотрим сопряжённый оператор:

$$A^*: c^*\to \mathbb{L}_2(0,+\infty).$$

Напомним, что пространство $c^*$ есть пространство всех ограниченных линейных функционалов на $c$, оно изометрически изоморфно пространству $\ell_1$. Поэтому произвольный функционал $f\in c^*$ можно представить в виде:

$$f(y)=\sum_{k=1}^{+\infty}\alpha_k y(k),\quad \{\alpha_k\}\in\ell_1.$$

Для определения сопряжённого оператора $A^*$ используем стандартное соотношение сопряжения:

$$\langle Ax,y\rangle_c=\langle x,A^*y\rangle_{\mathbb{L}_2},\quad \forall x\in\mathbb{L}_2,\quad y\in c^*.$$

Это означает, что:

$$\sum_{k=1}^{+\infty}\alpha_k\int_0^k\frac{x(t)}{1+t}dt=\int_0^{+\infty}x(t)\overline{(A^*\alpha)(t)}dt,\quad \forall x\in\mathbb{L}_2.$$

Поменяем порядок интегрирования и суммирования (это допустимо в силу абсолютной сходимости ряда и интеграла):

$$\int_0^{+\infty}x(t)\left(\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\alpha_k}{1+t}\chi_{[0,k]}(t)\right)dt=\int_0^{+\infty}x(t)\overline{(A^*\alpha)(t)}dt.$$

Отсюда следует явный вид сопряжённого оператора:

$$(A^*\alpha)(t)=\frac{1}{1+t}\sum_{k=[t]+1}^{+\infty}\alpha_k,\quad t\in[0,+\infty),$$

где $[t]$ — целая часть числа $t$.

Полученный оператор $A^*$ корректен, поскольку для $\{\alpha_k\}\in\ell_1$:

$$|(A^*\alpha)(t)|\leq\frac{1}{1+t}\sum_{k=[t]+1}^{+\infty}|\alpha_k|\leq \|\alpha\|_{\ell_1}\frac{1}{1+t}.$$

Отсюда видно, что $A^*\alpha\in \mathbb{L}_2(0,+\infty)$, так как:

$$\int_0^{+\infty}|(A^*\alpha)(t)|^2 dt\leq\|\alpha\|_{\ell_1}^2\int_0^{+\infty}\frac{dt}{(1+t)^2}<+\infty.$$

Таким образом сопряженный оператор найден явно.

---

Шаг 3: Исследование множества $A(B_1(0))$ на вполне ограниченность и замкнутость

Рассмотрим образ единичного шара:

$$A(B_1(0))=\left\{Ax:\|x\|_{\mathbb{L}_2}\leq 1\right\}\subset c.$$

1. Замкнутость: Множество $A(B_1(0))$ не замкнуто в пространстве $c$, так как предел последовательности вида

$$(Ax_n)(k)=\int_0^k\frac{x_n(t)}{1+t}dt$$

может привести к предельной функции, которую нельзя представить в таком интегральном виде с некоторым элементом из $B_1(0)$. Типично, интегральные операторы с таким видом ядер приводят к не замкнутым образам.

2. Вполне ограниченность: Чтобы проверить вполне ограниченность (относительную компактность), вспомним критерий Арцела-Асколи для последовательностей функций. Однако в пространстве $c$ (последовательностей) вполне ограниченность эквивалентна тому, что множество является компактным по норме равномерной сходимости, т.е. последовательности равномерно сходятся к предельной.

Рассмотрим

$$|(Ax)(k+m)-(Ax)(k)|=\left|\int_k^{k+m}\frac{x(t)}{1+t}dt\right|\leq\|x\|_{\mathbb{L}_2}\left(\int_k^{k+m}\frac{dt}{(1+t)^2}\right)^{1/2}.$$

При $k\to\infty$ правая часть стремится к нулю. Таким образом, семейство $A(B_1(0))$ равностепенно сходится и поэтому является вполне ограниченным в пространстве $c$.

---

Итоговый ответ:

• Оператор $A$ ограничен, $\|A\|\leq 1$.
• Его сопряженный оператор имеет вид:

$$(A^*\alpha)(t)=\frac{1}{1+t}\sum_{k=[t]+1}^{+\infty}\alpha_k,\quad \alpha\in\ell_1.$$

• Множество $A(B_1(0))$ не замкнуто в $c$, но вполне ограничено (относительно компактно).