Художники с одной работой

Обозначим количество художников в каждой из 5 школ как $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$, а количество работ, написанных художниками каждой школы, как $k_1, k_2, k_3, k_4, k_5$. Тогда общее число работ можно выразить так:

$$x_1 k_1 + x_2 k_2 + x_3 k_3 + x_4 k_4 + x_5 k_5 = 2034$$

При этом сумма художников во всех школах равна:

$$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 2024$$

Поскольку каждый художник в одной школе нарисовал одинаковое количество работ, но разные школы имеют разные значения $k$, то нам нужно определить, сколько художников создало ровно одну работу.

Рассмотрим ситуацию, когда среди школ есть такие, где $k = 1$, что означает, что художники этой школы рисовали только по одной работе. Пусть в одной из школ $k = 1$, тогда количество художников в этой школе равно $x_1$, и они все создали по одной работе:

$$x_1 \cdot 1 = x_1$$

Чтобы найти $x_1$, нам нужно рассмотреть разницу между числом художников (2024) и числом работ (2034). Поскольку каждый художник создавал хотя бы одну работу, а те, кто создал более одной, компенсируют недостачу, можно выразить разницу следующим образом:

$$2034 - 2024 = 10$$

Это означает, что только 10 художников создали ровно одну работу, так как они покрывают избыточное количество работ в общей сумме.

Ответ: 10 художников.

Обозначим через $n_i$ число художников в $i$‑й школе, а через $k_i$ число работ, написанных каждым художником этой школы. Тогда известно:

• Общее число художников: $$n_1+n_2+n_3+n_4+n_5=2024.$$
• Общее число работ: $$n_1k_1+n_2k_2+n_3k_3+n_4k_4+n_5k_5=2034.$$
• Если два художника из одной школы, то они написали одинаковое число работ, а работы в разных школах отличаются, значит $k_i$ – разные натуральные числа.

Поскольку каждая художник хотя бы написал одну работу, можно считать, что все художники принесли минимум по одной работе, а «лишние» работы получились за счет того, что в некоторых школах художники написали больше одной работы. Вычтем общее число художников из общего числа работ:

$$2034-2024=10.$$

То есть суммарно получено на 10 работ больше, чем если бы каждый сделал ровно одну.

Чтобы разложить эту разность, можно представить, что если в школе с $k_i$ работами художник написывает не 1, а $k_i$ работ, то «избыток» составит $k_i-1$ на каждого художника этой школы. Тогда

$$n_1(k_1-1)+n_2(k_2-1)+n_3(k_3-1)+n_4(k_4-1)+n_5(k_5-1)=10.$$

При этом минимальные возможные значения для $k_i$ – это 1, 2, 3, 4 и 5 (так как они различны и положительны). Минимальный суммарный избыток получается, если в одной из школ $k_1=1$ (избыток 0), а в остальных – $k_2=2$, $k_3=3$, $k_4=4$, $k_5=5$. Тогда избыток будет:

$$n_2\cdot(2-1)+n_3\cdot(3-1)+n_4\cdot(4-1)+n_5\cdot(5-1)=n_2+2n_3+3n_4+4n_5=10.$$

Чтобы сумма оказалась минимально возможной, выбираем минимальные $n_i$ для школ с $k>1$. Поскольку каждая школа представлена хотя бы одним художником, можно взять:

$$n_2=n_3=n_4=n_5=1.$$

Проверим:

$$1+2+3+4=10.$$

Таким образом, решение выглядит так:

• В школе, где $k_1=1$ (то есть художники принесли по одной работе), должно быть $$n_1=2024-4=2020 \text{ художников}.$$
• В остальных школах по одному художнику, которые принесли 2, 3, 4 и 5 работ соответственно.

Ответ на задачу: 2020 художников принесли всего по одной работе.