Решение детерминанта матрицы

Для решения этой задачи нужно найти значение $x$, при котором определитель матрицы равен 14.

Дана матрица:

$$\begin{vmatrix} 5 & -3 & 0 \\ x - 3 & 2 & 4 \\ 7 & x - 5 & 6 \end{vmatrix} = 14$$

Для нахождения определителя $3 \times 3$-матрицы можно использовать разложение по первой строке.

$$\text{det} = 5 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ x - 5 & 6 \end{vmatrix} - (-3) \cdot \begin{vmatrix} x - 3 & 4 \\ 7 & 6 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} x - 3 & 2 \\ 7 & x - 5 \end{vmatrix}$$

Теперь найдем миноры.

1. Для первого минора:

$$\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ x - 5 & 6 \end{vmatrix} = (2 \cdot 6) - (4 \cdot (x - 5)) = 12 - 4x + 20 = 32 - 4x$$

2. Для второго минора:

$$\begin{vmatrix} x - 3 & 4 \\ 7 & 6 \end{vmatrix} = ((x - 3) \cdot 6) - (4 \cdot 7) = 6x - 18 - 28 = 6x - 46$$

Теперь подставляем в формулу определителя:

$$\text{det} = 5 \cdot (32 - 4x) + 3 \cdot (6x - 46) = 14$$

Раскрываем скобки:

$$160 - 20x + 18x - 138 = 14$$

Упрощаем:

$$22 - 2x = 14$$

Решаем уравнение:

$$-2x = -8 \quad \Rightarrow \quad x = 4$$

Ответ: d. 4.