Вероятность расположения томов

Всего существует $4!$ = 24 способа расставить 4 тома по местам. Только в одном из этих способов каждый том стоит на своём месте. Тогда вероятность того, что хотя бы один том окажется не на своём месте, равна

$$1 - \frac{1}{4!} = 1 - \frac{1}{24} = \frac{23}{24}.$$

Чтобы число было пятизначным, первая цифра не может быть нулём, а для чётного числа последняя цифра должна быть одной из $\{0, 2, 4, 6, 8\}$. Тогда:

• Первая (старшая) цифра: $9$ вариантов ($1$–$9$);
• Средние три цифры: каждая от $0$ до $9$, всего $10$ вариантов для каждой позиции, то есть $10^3 = 1000$ вариантов для трёх цифр;
• Последняя (младшая) цифра: $5$ вариантов ($0, 2, 4, 6, 8$).

Таким образом, всего чётных пятизначных чисел:

$$9 \times 1000 \times 5 = 45{\,}000.$$

Для решения задачи рассмотрим следующие шаги:

1. Общее число способов выбрать 4 шара из 19 (13 белых + 6 чёрных) равно количеству сочетаний из 19 по 4:

   $$\binom{19}{4}.$$

2. Число способов выбрать 2 белых из 13:

   $$\binom{13}{2}.$$

3. Число способов выбрать 2 чёрных из 6:

   $$\binom{6}{2}.$$

4. Число способов выбрать 2 белых и 2 чёрных (то есть ровно по два каждого цвета) равно произведению двух предыдущих пунктов:

   $$\binom{13}{2} \times \binom{6}{2}.$$

5. Искомая вероятность (что среди вынутых шаров белых и чёрных будет поровну) есть отношение числа подходящих способов к общему числу способов:

   $$P = \frac{\binom{13}{2}\,\binom{6}{2}}{\binom{19}{4}} = \frac{ \bigl(\binom{13}{2} \bigr)\bigl(\binom{6}{2}\bigr) }{ \binom{19}{4} }.$$

Подставим конкретные значения:

$$\binom{13}{2} = \frac{13 \cdot 12}{2} = 78, \quad \binom{6}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15, \quad \binom{19}{4} = \frac{19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 3876.$$

Тогда

$$P = \frac{78 \times 15}{3876} = \frac{1170}{3876}.$$

При необходимости можно упростить дробь или найти десятичное приближение:

$$\frac{1170}{3876} = \frac{195}{646} \approx 0{,}302 \quad (\text{около } 30{,}2\%).$$