Вероятность расположения томов

Calculating permutations

I’m looking at the number of ways to order the volumes on a shelf, excluding the identity permutation where all volumes are correctly placed. This requires calculating 4! permutations and subtracting the 1 identity permutation.

Assessing probabilities

I’m thinking the probability of at least one volume being out of place is 23/24, derived by subtracting the identity permutation probability from 1.

Thought about вероятность расстановки томов для несколько секунд

Всего существует $4!$ = 24 способа расставить 4 тома по местам. Только в одном из этих способов каждый том стоит на своём месте. Тогда вероятность того, что хотя бы один том окажется не на своём месте, равна

Thought about количество чётных пятизначных чисел для пара секунд

Чтобы число было пятизначным, первая цифра не может быть нулём, а для чётного числа последняя цифра должна быть одной из $\{0, 2, 4, 6, 8\}$. Тогда:

• Первая (старшая) цифра: $9$ вариантов ($1$–$9$);
• Средние три цифры: каждая от $0$ до $9$, всего $10$ вариантов для каждой позиции, то есть $10^3 = 1000$ вариантов для трёх цифр;
• Последняя (младшая) цифра: $5$ вариантов ($0, 2, 4, 6, 8$).

Таким образом, всего чётных пятизначных чисел:

Calculating probability

I’m figuring out the probability of selecting 2 white and 2 black balls from a mix of 19 balls (13 white, 6 black) by comparing specific combinations.

Crunching the numbers

OK, let's break down the combinations: C(13,2) = 78, C(6,2) = 15, and C(19,4) = 3876. Simplifying 1170/3876, it reduces to 195/646.

Wrapping up the calculation

I’m approximating 195/646 as around 0.302. It’s worth noting that 0.3 * 646 gives 193.8, and dividing 1.2 by 646 adds about 0.0019, confirming the approximation.

Thought about вероятность шаров для 7 секунд

Для решения задачи рассмотрим следующие шаги:

1. Общее число способов выбрать 4 шара из 19 (13 белых + 6 чёрных) равно количеству сочетаний из 19 по 4:

   $$\binom{19}{4}.$$

2. Число способов выбрать 2 белых из 13:

   $$\binom{13}{2}.$$

3. Число способов выбрать 2 чёрных из 6:

   $$\binom{6}{2}.$$

4. Число способов выбрать 2 белых и 2 чёрных (то есть ровно по два каждого цвета) равно произведению двух предыдущих пунктов:

   $$\binom{13}{2} \times \binom{6}{2}.$$

5. Искомая вероятность (что среди вынутых шаров белых и чёрных будет поровну) есть отношение числа подходящих способов к общему числу способов:

   $$P = \frac{\binom{13}{2}\,\binom{6}{2}}{\binom{19}{4}} = \frac{ \bigl(\binom{13}{2} \bigr)\bigl(\binom{6}{2}\bigr) }{ \binom{19}{4} }.$$

Подставим конкретные значения:

Тогда

При необходимости можно упростить дробь или найти десятичное приближение: