Математические определения и задачи

Вот ответы на вопросы:

1. Дать определение ранга матрицы.
   Ранг матрицы — это наибольший порядок (размер) квадратной подматрицы, определитель которой не равен нулю. Иначе говоря, это максимальное количество линейно независимых строк или столбцов матрицы.

2. Чему равна сумма произведений элементов некоторой строки на их алгебраические дополнения?
   Сумма произведений элементов строки матрицы на их алгебраические дополнения равна определителю этой матрицы.

3. Записать условие компланарности трёх векторов.
   Три вектора компланарны, если их смешанное произведение равно нулю. Это можно записать так:
   $(\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})) = 0$
   или определитель матрицы, составленной из координат этих векторов, равен нулю.

4. Дать определение равенства двух комплексных чисел.
   Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части.
   Если $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$, то $z_1 = z_2$ тогда и только тогда, когда $a = c$ и $b = d$.

5. Дать определение гиперболы.
   Гипербола — это множество всех точек на плоскости, для которых абсолютная разность расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) является постоянной величиной.
   Уравнение гиперболы в каноническом виде:
   $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$