矩阵p范数子乘性

是的，如果这里所说的 “矩阵的 $p$ 范数” 指的是从向量 $p$ 范数所“诱导”出来的算子范数（也称为“一致范数”或“操作范数”），那么它确实满足

$$\|AB\|_{p} \;\le\; \|A\|_{p}\,\|B\|_{p} \quad.$$

这就是所谓的“子乘性” (submultiplicative) 性质，也是所有诱导矩阵范数所具备的核心特征。简而言之：

1. 诱导 $p$ 范数的定义
   若向量的 $p$ 范数定义为

   $$\|x\|_{p} = \bigl(\sum_i |x_i|^p \bigr)^{1/p} \quad (1 \le p < \infty),$$

   那么由此诱导出来的矩阵 $p$ 范数定义为

   $$\|A\|_{p} \;=\; \sup_{x \neq 0} \frac{\|A x\|_{p}}{\|x\|_{p}}.$$

   （当 $p = \infty$ 时，也可以类似地定义相应的范数。）

2. 子乘性证明思路
   使用上述定义，针对任何非零 $x$，有

   $$\frac{\|ABx\|_p}{\|x\|_p} \;=\; \frac{\|A(Bx)\|_p}{\|x\|_p} \;\le\; \|A\|_p \,\frac{\|Bx\|_p}{\|x\|_p}.$$

   再对 $x\neq 0$ 取上确界便得到

   $$\|AB\|_p \;\le\; \|A\|_p\,\|B\|_p.$$

3. 是否“范数本身自带”

   • 若我们说的正是“由向量 $p$ 范数诱导的矩阵范数”，那么它天然带有子乘性，属于定义使然。
   • 并非所有给矩阵随便定义的“范数”都会有 $\|AB\| \le \|A\|\,\|B\|$，只有满足子乘性要求的才是常说的“算子范数”或“一致范数”。
   • 对常见的 $\ell^p$ 诱导的矩阵范数 ($1$ 范数、$2$ 范数、$\infty$ 范数等) 都成立该性质。

因此，如果题目中的 $\|\cdot\|_p$ 是指“向量 $p$ 范数诱导的矩阵算子范数”，那么

$$\|AB\|_{p} \;\le\; \|A\|_{p}\,\|B\|_{p}$$

确实是它本身必然具备的子乘性性质。

是的，这是任何范数都具备的一个通用性质，不仅仅适用于 $p$ 范数。通常将其称为逆三角不等式（Reverse Triangle Inequality）的一种形式。

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1. 逆三角不等式

对于任意范数 $\|\cdot\|$ 和任意向量（或元素）$x_1, x_2$，都满足

$$\bigl|\|x_1\| - \|x_2\|\bigr| \;\le\; \|\,x_1 - x_2\,\|.$$

该式从标准三角不等式就能推出。你问的那条不等式

$$\|x_1\| - \|x_2\| \;\le\; \|x_1 - x_2\|$$

只是把上面逆三角不等式的绝对值去掉了一侧而已（即考虑了 $\|x_1\| \ge \|x_2\|$ 的场景，但结论同样成立）。

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2. 推导思路

从三角不等式出发：

$$\|x_1\| \;=\;\|(x_1 - x_2) + x_2\| \;\le\;\|x_1 - x_2\| + \|x_2\|.$$

将 $\|x_2\|$ 移到左侧，就直接得到

$$\|x_1\| - \|x_2\| \;\le\;\|x_1 - x_2\|.$$

同理，如果交换 $x_1$ 和 $x_2$ 的位置，也能得到

$$\|x_2\| - \|x_1\| \;\le\;\|x_1 - x_2\|.$$

这二者合并在一起，就得到常见的绝对值形式：

$$|\|x_1\| - \|x_2\|| \;\le\; \|x_1 - x_2\|.$$

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3. 对 $p$ 范数也同样成立

由于 $p$ 范数（$1 \le p < \infty$ 或 $p = \infty$）本身就是合法的范数，也满足三角不等式，所以上述推导、结论对 所有 $p$-范数一样适用，无需额外条件。

简言之：

不管是$p$-范数，还是更一般的任何范数，逆三角不等式

$$\|x_1\| - \|x_2\| \;\le\; \|x_1 - x_2\|$$

都成立。

这是一个非常基本而重要的范数性质。

下面给出一个在有限维情形下的简要证明思路。如果向量 $x \in \mathbb{R}^n$（或 $\mathbb{C}^n$）中每个分量都满足 $\lvert x_i\rvert < 1$，则对于任何常见的 $p$-范数（$1 \le p < \infty$）都有一个有限上界。以下是证明思路（假设是实数情形，复数情形只需取模即可）：

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1. $p$-范数的定义

在 $\mathbb{R}^n$ 中，向量 $x = (x_1,\dots,x_n)$ 的 $p$-范数定义为

$$\|x\|_p \;=\; \bigl(|x_1|^p + |x_2|^p + \cdots + |x_n|^p\bigr)^{1/p}.$$

当 $p = \infty$ 时，$\|x\|_\infty = \max_{1\le i \le n} |x_i|$。这些都是合法的范数。

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2. 若 $\lvert x_i\rvert < 1$，则 $\|x\|_p$ 有界

令每个坐标满足 $\lvert x_i\rvert < 1$。则对于 $1 \le p < \infty$:

1. 由 $|x_i| < 1$ 可知 $|x_i|^p < 1^p = 1$。
2. 因此 $$|x_1|^p + \cdots + |x_n|^p \;<\; 1 + 1 + \cdots + 1 \;=\; n.$$
3. 所以 $$\|x\|_p \;=\;\bigl(|x_1|^p + \cdots + |x_n|^p\bigr)^{\frac{1}{p}} \;<\;(n)^{\frac{1}{p}}.$$ 从而 $\|x\|_p$ 被常数 $n^{1/p}$ 所有界。

• 对于 $p = \infty$ 的情况，更简单：
  $\|x\|_\infty = \max_i |x_i|$。若每个 $\lvert x_i\rvert < 1$，则 $\|x\|_\infty < 1$。

由此可见，在有限维度 $n$ 的场景下，如果每个分量都严格小于 1，则任何常见的 $p$-范数都小于一个具体的有限值（例如 $n^{1/p}$ 或者 1）。这是一个最直接、最自然的有界性结论。

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3. 无穷维情形的补充

如果考虑的是无穷维的序列空间（例如 $\ell^p$ 空间），单纯要求“每个元素都小于 1”并不足以保证范数有界。因为还需要是否可列求和、是否收敛等条件。

• 在 $\ell^p$ 空间（$1 \le p < \infty$)，要求 $\sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^p < \infty$ 才能说明 $\|x\|_p$ 是有限的。
• 若仅仅知道 $|x_i| < 1$ 而没有衰减性等更强的条件，可能会导致无穷多项相加仍然发散。

因此，题目中常见的“每个元素都小于1即可得到向量范数有界”这一结论，一般默认是在有限维向量空间中使用。如果你所处环境是典型的 $\mathbb{R}^n$ 或 $\mathbb{C}^n$（也就是有限维场景），以上的证明就已经完整说明了其有界性。