Парабола через середины треугольника

Вопрос

На графике параболы у=43x^2+10x-7 отметили точки M,N,K с абсциссами 11,13,17. Через середины сторон треугольника MNK провели параболу y=ax^2+bx+c. Чему равно а?

Мысль

Mapping out points

I'm gathering info on points $M$ , $N$ , and $K$ on the parabola $y = 43x^2 + 10x - 7$ with $x$ -coordinates 11, 13, and 17, respectively.

Calculating midpoints

I’m determining the midpoints of the triangle $MNK$ by averaging the coordinates of points $M$ , $N$ , and $K$ to identify the new parabola passing through these points.

Determining the polynomial

I’m calculating the y-values of the midpoints of triangle $MNK$ and checking if they satisfy the existing parabola $43x^2 + 10x - 7$ to identify the new parabola passing through these points.

Ensuring accuracy

I’m calculating $y_N$ by summing $43 \times 13^2 + 10 \times 13 - 7$ . After careful addition, $y_N$ equals 7267.

Confirming accuracy

I’m carefully calculating $y_K$ by multiplying $43$ by $17^2$ , adding $10 \times 17$ , and subtracting $7$ . The final result is 12590.

Calculating midpoints

I’ve found the midpoints $P_{MN}$ , $P_{NK}$ , and $P_{KM}$ by averaging the coordinates of $M$ , $N$ , and $K$ . These will be used to determine the new parabola's equation.

Solving for coefficients

I’m setting up a system of equations using the midpoints to determine the coefficients $a$ , $b$ , and $c$ that fit the new parabola's equation $y = ax^2 + bx + c$ .

Isolating coefficients

I’m isolating $a$ by subtracting equations I and III to derive an equation in $a$ and $b$ , leading to $a = -86$ after simplifying.

Verifying accuracy

I’m checking the arithmetic steps to ensure $a = -86$ is accurate. This negative value contrasts with the original parabola's positive $a$ , which is intriguing and worth confirming further.

Ensuring accuracy

I’m verifying $b = 3536$ by substituting it into equation IV and confirming it holds true. This involves detailed arithmetic steps to confirm each value's validity.

Verifying consistency

I’ve calculated $c = -23700$ by substituting $a$ and $b$ into equation I. Now, I’m checking the consistency of this value with this and other equations.

Confirming consistency

I’ve verified the system by substituting $a = -86$ , $b = 3536$ , and $c = -23700$ into equations II and III, ensuring the new parabola's equation remains consistent.

Thought about параболе и средних точках for 28 seconds

Ответ

Ниже приведён один из возможных способов решения.

Ищем координаты точек $M, N, K$ .

Данную параболу задаёт формула
$y = 43x^2 + 10x - 7.$
Точки $M, N, K$ имеют абсциссы $x_M=11$ , $x_N=13$ и $x_K=17$ . Найдём их ординаты путём подстановки в исходную формулу:
- Для $M(11,y_M)$ :
  $y_M = 43\cdot 11^2 + 10\cdot 11 - 7.$ $11^2 = 121,\quad 43\cdot 121 = 5203,\quad 10\cdot 11=110,$ $y_M = 5203 + 110 - 7 = 5306.$
  Итого $M = (11, 5306).$
- Для $N(13,y_N)$ :
  $y_N = 43\cdot 13^2 + 10\cdot 13 - 7.$ $13^2 = 169,\quad 43\cdot 169 = 7267,\quad 10\cdot 13=130,$ $y_N = 7267 + 130 - 7 = 7390.$
  Итого $N = (13, 7390).$
- Для $K(17,y_K)$ :
  $y_K = 43\cdot 17^2 + 10\cdot 17 - 7.$ $17^2 = 289,\quad 43\cdot 289=12427,\quad 10\cdot 17=170,$ $y_K = 12427 + 170 - 7 = 12590.$
  Итого $K = (17, 12590).$
Находим середины сторон треугольника $MNK$ .

Пусть
$P_{MN} \text{ — середина } MN,\quad P_{NK} \text{ — середина } NK,\quad P_{KM} \text{ — середина } KM.$
Тогда координаты середин вычисляются как среднее арифметическое координат концов отрезков:
- $P_{MN} = \Bigl(\tfrac{x_M + x_N}{2},\; \tfrac{y_M + y_N}{2}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{11 + 13}{2},\; \tfrac{5306 + 7390}{2}\Bigr) = (12,\; 6348).$
- $P_{NK} = \Bigl(\tfrac{x_N + x_K}{2},\; \tfrac{y_N + y_K}{2}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{13 + 17}{2},\; \tfrac{7390 + 12590}{2}\Bigr) = (15,\; 9990).$
- $P_{KM} = \Bigl(\tfrac{x_K + x_M}{2},\; \tfrac{y_K + y_M}{2}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{17 + 11}{2},\; \tfrac{12590 + 5306}{2}\Bigr) = (14,\; 8948).$
Составляем систему для новой параболы $y = ax^2 + bx + c$ .

Парабола должна проходить через три полученные точки $(12,6348)$ , $(15,9990)$ , $(14,8948)$ . Подставляя их координаты в $y = ax^2 + bx + c$ , получаем систему:
$\begin{cases} 6348 = a\cdot 12^2 + b\cdot 12 + c,\\ 9990 = a\cdot 15^2 + b\cdot 15 + c,\\ 8948 = a\cdot 14^2 + b\cdot 14 + c. \end{cases}$
Или в более развёрнутом виде:
$\begin{cases} 144a + 12b + c = 6348,\\ 225a + 15b + c = 9990,\\ 196a + 14b + c = 8948. \end{cases}$
Решаем систему уравнений.

Вычтем первое уравнение из второго:
$(225a - 144a) + (15b - 12b) = 9990 - 6348$ $81a + 3b = 3642 \quad\Longrightarrow\quad 27a + b = 1214. \tag{1}$
Вычтем первое уравнение из третьего:
$(196a - 144a) + (14b - 12b) = 8948 - 6348$ $52a + 2b = 2600 \quad\Longrightarrow\quad 26a + b = 1300. \tag{2}$
Теперь вычтем (2) из (1):
$(27a + b) - (26a + b) = 1214 - 1300$ $a = -86.$
Подставляя $a=-86$ в (2):
$26(-86) + b = 1300 \quad\Longrightarrow\quad -2236 + b = 1300 \quad\Longrightarrow\quad b = 3536.$
И, наконец, из любого первого уравнения найдём $c$ . Подставим в $144a + 12b + c = 6348$ :
$144(-86) + 12\cdot 3536 + c = 6348.$ $-12384 + 42432 + c = 6348 \quad\Longrightarrow\quad 30048 + c = 6348 \quad\Longrightarrow\quad c = -23700.$
Ответ на вопрос.

Новая парабола, проходящая через середины сторон треугольника $MNK$ , имеет вид
$y = -86\,x^2 + 3536\,x - 23700.$
Коэффициент $a$ при $x^2$ равен
$\boxed{-86}.$

Вопрос

Мысль

Ответ

Поделиться этим Q&A