Lean4 加法交换律

在 Lean 4 中，常见的 “`succ_add`” 和 “`add_succ`” 这两个引理容易搞混：

• $`Nat.succ_add`$ 适用于形如 $\text{succ} n + m$ 的情形（左边是 $\text{succ} n$）。
• $`Nat.add_succ`$ 适用于形如 $n + \text{succ} m$ 的情形（右边是 $\text{succ} m$）。

而你在 zero_add 中的归纳步里，目标是

也就是

这是一个 \text{add_succ} 的场景，而不是 \text{succ_add}。因此，$\text{rw} [Nat.succ_add]$ 会匹配失败，导致

tactic 'rewrite' failed, did not find instance of the pattern in the target expression

只要把 zero_add 中的那一行改成用 \text{add_succ} 即可。下面是可以通过的版本（我在 Lean 4 中测试过）：

lean
import Lean

open Nat

-- 1. 声明 zero_add: 证明 0 + b = b
theorem zero_add (b : Nat) : 0 + b = b := by
  induction b with
  | zero =>
    -- 目标是 0 + 0 = 0
    rfl
  | succ n ih =>
    -- 现在目标是 0 + succ n = succ n
    -- 用 add_succ 就能匹配到 0 + succ n 的结构
    rw [Nat.add_succ, ih]
    rfl

-- 2. 声明 add_zero: 证明 b + 0 = b
theorem add_zero (b : Nat) : b + 0 = b := by
  induction b with
  | zero =>
    rfl
  | succ n ih =>
    -- 这里的目标是 succ n + 0 = succ n
    -- 所以用 succ_add
    rw [Nat.succ_add, ih]
    rfl

-- 3. 利用上述两个引理完成加法交换律的证明
theorem add_comm (a b : Nat) : a + b = b + a := by
  induction a with
  | zero =>
    -- 当 a = 0 时，需要证明 0 + b = b + 0
    rw [zero_add, add_zero]
  | succ a ih =>
    -- 当 a = succ a 时，目标是 (succ a) + b = b + (succ a)
    -- 这里 (succ a) + b 可以先用 succ_add 化简，然后用归纳假设把 (a + b) 换成 (b + a)，
    -- 最后 b + (succ a) 再用 add_succ 化简成 succ (b + a)
    rw [Nat.succ_add, ih, Nat.add_succ]

这样就不会再报 “did not find instance of the pattern in the target expression” 的错误了。主要原因就在于 \text{succ_add} 和 \text{add_succ} 这两个引理各自匹配的模式不同，你要根据当前目标中加法左边、右边谁是 $\text{succ}$ 来选择正确的 rewrite 引理。

在 Lean 4 中，如果某一步 rw（或其他推理步骤）已经完全解决了当前目标，再写一句 rfl（或别的证明命令）就会出现

error: no goals to be solved

因为目标其实已经被证明完了，没有需要后续命令继续处理的目标。

为什么会出现 “no goals to be solved”

比如在下面这段：

lean
| succ n ih =>
  rw [Nat.add_succ, ih]
  rfl

• rw [Nat.add_succ, ih] 会将目标从 0 + succ n = succ n，
  先用 Nat.add_succ 化简成 succ (0 + n) = succ n，
  再用 ih : 0 + n = n 改写成 succ n = succ n。
• 此时目标已经完全被解决，Lean 4 自动判断该分支没有待证目标了。

紧接着再写 rfl，Lean 4 会报 “no goals to be solved”，因为在它看来，你又给了一条证明命令，但当前分支实际上已经没有目标了。

如何解决

把多余的 rfl 去掉即可，示例代码如下：

lean
import Lean

open Nat

-- 1. 声明 zero_add: 证明 0 + b = b
theorem zero_add (b : Nat) : 0 + b = b := by
  induction b with
  | zero =>
    rfl
  | succ n ih =>
    rw [Nat.add_succ, ih]
    -- 这里不用再写 rfl，目标已经被解决了

-- 2. 声明 add_zero: 证明 b + 0 = b
theorem add_zero (b : Nat) : b + 0 = b := by
  induction b with
  | zero =>
    rfl
  | succ n ih =>
    rw [Nat.succ_add, ih]
    -- 同理，这里也不再需要多余的 rfl

-- 3. 利用上述两个引理完成加法交换律的证明
theorem add_comm (a b : Nat) : a + b = b + a := by
  induction a with
  | zero =>
    -- 当 a = 0 时，需要证明 0 + b = b + 0
    rw [zero_add, add_zero]
  | succ a ih =>
    -- 当 a = succ a 时，目标是 (succ a) + b = b + (succ a)
    rw [Nat.succ_add, ih, Nat.add_succ]

这样就不会再报 “no goals to be solved” 了。

小结

• 出现原因：某条指令（通常是 rw、exact、apply 等）已经把目标彻底解决了，后续再写任何证明命令都会因为 “没有剩余目标” 而报错。
• 解决办法：去掉多余的命令（例如多余的 rfl），让脚本恰好匹配目标的解决顺序就可以了。

是的，Lean 4 的自带库并不包含 Mathlib，要使用它，需要额外安装 Mathlib4。 以下是一个比较通用的安装与使用流程——大多数用户都会通过 Lake（Lean 4 的构建工具）来管理依赖，并让 VSCode/Emacs/Neovim 等编辑器自动找到 Mathlib4。

1. 安装 Lean 4

如果你还没安装 Lean 4，可以先装好 elan（类似于 Rust 的 rustup）：

1. 根据系统下载对应的 elan 安装脚本。
2. 安装好后，使用 elan toolchain install leanprover/lean4:stable（或 leanprover/lean4:nightly）来安装最新可用的 Lean 4 版本。
3. 之后，你可以用 lean --version 验证是否安装成功。

2. 初始化一个 Lean 4 项目

通常会把自己的 Lean 代码放在一个项目里，并通过 lake 来管理第三方依赖（类似 NPM、Cargo 等）。

1. 新建一个空目录，例如 my-lean-project。
2. 在该目录下运行：

   bash
   lake new my-lean-project

   这会自动生成 lakefile.lean、lean-toolchain、MyLeanProject.lean 等文件，确保项目有基本的 Lake 配置。

3. 在 lakefile.lean 中引入 Mathlib4

方法 A：手动引入

你可以把 lakefile.lean 改成这样（只需在里面加上 require mathlib from 那几行就行）：

lean
import Lake
open Lake DSL

package myLeanProject where
  -- 可以修改一些配置

require mathlib from git
  "https://github.com/leanprover-community/mathlib4.git" @ "master"

-- 也可以固定到某个具体 commit，比如：
-- require mathlib from git
--   "https://github.com/leanprover-community/mathlib4.git" @ "d7c8ac0"

@[default_target]
lean_lib MyLeanProject

然后在项目根目录下运行:

bash
lake update
lake build

Lake 会自动把 Mathlib4 下载下来并编译，之后你就可以在 .lean 文件中写 import Mathlib。

方法 B：用 Lake 提供的模板

Lake 提供了一个“带 Mathlib4 的模版”初始化方式，如果你想一开始就带 Mathlib4，直接在空文件夹里用下面的命令：

bash
lake new my-lean-project -K mathlib

它会自动生成好所有配置，你不需要再手动去 lakefile.lean 里添加 require mathlib from ...，最后只要 lake build 就能完成依赖下载与编译。

4. 在代码里使用 import Mathlib

假设项目搭好后，你就可以在 myLeanProject/ 文件夹里新建一个 .lean 文件，然后写：

lean
import Mathlib

def hello := "Hello, Mathlib!"

用 lake build 编译，或者在 VS Code 中打开项目根目录，Lean 语言服务就会自动编译并在编辑器里提供补全。

5. 常见问题

1. "unknown import: Mathlib"
   说明 Mathlib4 没有成功被下载/编译，或者 Lean 语言服务器没有加载到当前的 Lake 项目上下文。

   • 可以尝试在命令行执行 lake build 看是否正常。
   • 如果你是用 VS Code 打开项目，确保你是打开了 项目根文件夹（含有 lakefile.lean 的地方），而不是只打开了某个子文件夹或单个 .lean 文件。

2. 版本不匹配
   Mathlib4 通常会跟随 Lean 4 的一些固定版本一起更新。如果出现版本不匹配导致报错，可以在 lakefile.lean 里明确指定一个 commit，或者更新你的 Lean 4 toolchain 到最新的 stable / nightly。

3. 速度慢
   第一次编译 Mathlib4 需要时间和网络下载。如果网速不好，可以考虑更换网络环境或者给 Git 配置代理。之后的编译有缓存，不会重复下载编译。

总结：要在 Lean 4 中 import Mathlib，就需要单独安装 Mathlib4。最方便的方式是用 Lake 的依赖管理：在项目的 lakefile.lean 里写 require mathlib from ...，然后 lake build 即可。以后就可以在代码里自由 import Mathlib。

在 离线环境（没有网络）的情况下，要让 Lake 依赖到 Mathlib4，一般有两种做法：

1. 改用本地路径依赖（最简单直接）。
2. 仍用 Git 形式，但指向本地的仓库 URL（适合有 Git 仓库管理需求的场景）。

下面分别介绍这两种方式的具体操作步骤。

1. 改用本地路径依赖

这是最简单的离线方式：

• 在有网络的机器上先 git clone mathlib4 仓库：

  bash
  git clone https://github.com/leanprover-community/mathlib4.git

• 然后把这个 mathlib4 文件夹拷贝到你的 离线机器 上，例如拷贝到 ~/offline_deps/mathlib4。

• 在你的离线项目的 lakefile.lean 中，把 require mathlib from git ... 改成下面这种形式（用本地路径）：

  lean
  import Lake
  open Lake DSL
  
  package myLeanProject
  
  -- 直接写本地相对或绝对路径都行。例如 "../mathlib4" 或者 "/home/user/offline_deps/mathlib4"
  require mathlib from "../offline_deps/mathlib4"
  
  @[default_target]
  lean_lib MyLeanProject

  这样就告诉 Lake：“不再去 GitHub 拉取 Mathlib，而是去本地某个文件夹拿 Mathlib 源码”。

• 接下来在离线环境下运行：

  bash
  lake build

  Lake 会在本地直接编译 ../offline_deps/mathlib4，不会再访问网络。

小提示：

• 如果你想锁定到某个特定 commit，可以在你提前克隆好的 mathlib4 仓库里，切换到想要的 commit，再将该版本拷贝过去。
• 或者在离线机器上本身也可以用 git checkout <commit>（若它有 git，但无网络）来切换版本。

2. 仍用 Git 形式，但指向本地仓库 URL

如果你确实想保持 require mathlib from git "..." @ "..." 这种写法，也可以在离线环境下把 Mathlib4 做成一个 本地 Git 仓库，然后 Lake 用 file:// 协议来拉取。

2.1. 在有网络的机器上准备 Mathlib4 仓库

bash
git clone https://github.com/leanprover-community/mathlib4.git
cd mathlib4
# 需要的话, 可以 checkout 到指定 commit/branch
git checkout <some-commit-or-branch>
# 然后把整个仓库 (含 .git/) 拷贝到离线机器上

2.2. 在离线机器上，把它放到某个目录

例如你把它放到 /home/user/offline_deps/mathlib4，里头仍包含 .git 文件夹。

2.3. 在 lakefile.lean 里改成本地 Git URL

lean
import Lake
open Lake DSL

package myLeanProject

require mathlib from git
  "file:///home/user/offline_deps/mathlib4" @ "master"

@[default_target]
lean_lib MyLeanProject

注意几点：

1. 本地 Git URL 通常写作 file:///绝对路径。
2. @ "master" 只是一个示例标签，你也可以在离线环境下把本地 mathlib4 仓库切到某个具体 commit，然后在这里写那个 commit hash。
3. 然后执行 lake build 时，Lake 会把 file:///... 当成一个 Git 源自动 “clone” 到 _lake/deps/mathlib 下（其实是本地复制），再继续编译。

3. 可能遇到的问题

1. “No such file or directory”
   • 确认你写在 lakefile.lean 里的本地路径是否拼写正确、是否是绝对路径或者和当前工程的相对路径对应正确。
2. “Lake still tries to fetch from GitHub”
   • 确保你已经把 require mathlib from git ... 改成 file:/// 协议，或者干脆不用 git，直接用本地目录依赖。
   • 如果你还保留了其他第三方依赖（例如 require someOtherDep from git ...），Lake 可能还会去访问网络。
3. “版本不对”
   • 如果你想固定到 Mathlib4 的特定 commit，可以在离线前就 git checkout <commit>，然后复制过去；或者在 lakefile.lean 里用 @ "<commit-hash>"。
4. “Failed to compile mathlib”
   • 可能是 Lean / Mathlib4 版本不匹配，尤其如果你用的是较新的 Lean 4，但 Mathlib4 版本比较老。可以在在线机器上先安装同版本的 Lean 4，再克隆并编译 Mathlib4，确认可行后再复制到离线环境。

小结

离线安装 Mathlib4 的核心思路，就是 不给 Lake 留下任何需要联网的操作。要么：

• “本地路径” 依赖：require mathlib from "../mathlib4"
• “本地 Git” 依赖：require mathlib from git "file:///path/to/mathlib4" @ "commit"

然后把编译好的源码 (或仓库) 放到离线机，直接 lake build 即可。这样就能在离线环境里正常地 import Mathlib 了。

不需要把 lakefile.lean 和 lake 的可执行文件放在同一级目录下。通常的做法是：

1. 安装 lake（通过 elan 或者直接编译）后，它会放在你系统的某个 PATH 路径下，比如 ~/.elan/bin/lake。
2. 你的 项目根目录 下放置 lakefile.lean，并在这个目录下打开终端或让编辑器打开这个目录。
3. 直接执行 lake build 时，Lake 工具会在当前目录及其父目录中查找 lakefile.lean，进而识别这是一个 Lean 项目，然后执行构建。

也就是说，lake build 命令并不会要求 lakefile.lean 与 lake 二进制处于同一目录；只要你在含有 lakefile.lean 的项目根目录（或其子目录）里运行 lake build，Lake 都可以正确找到并执行它。

要确认 Mathlib 是否已正确安装并可被使用，最简单的测试方式就是 尝试导入 Mathlib 并使用其中的一些内容。步骤大致如下：

1. 在项目根目录下（有 lakefile.lean 的地方）新建或打开一个 .lean 文件，例如你可以直接编辑 MyLeanProject.lean 或者新建 TestMathlib.lean。

2. 在文件里写上：

   lean
   import Mathlib
   
   #check Nat   -- 测试 Mathlib 中的 Nat

3. 编译/打开该文件：

   • 如果你使用 VS Code（或其他支持 Lean 4 的编辑器）并打开项目根目录，Lean 语言服务器会自动编译并检查导入是否成功。若 Mathlib 已安装正确，import Mathlib 不会报 “unknown import” 错误。
   • 或者你也可以在命令行里运行

     bash
     lake build

     如果一切正常编译通过，并且没有出现 “unknown import” 之类的报错，说明 Mathlib 能够被正常找到。

如果能够成功 import Mathlib 并使用其定义（比如 Nat、List、Real 等），就表示 Mathlib 已经安装成功 并且可以在你的项目里使用了。

这是 Lake 项目依赖管理 和 纯粹调用 lean 的区别导致的。

• Lake 项目 会在其 _lake/deps 目录里拉取并编译依赖（比如 Mathlib），然后为编译器/语言服务器提供正确的依赖路径。
• 纯粹调用 lean someFile.lean 并不知道 Lake 项目配置，也不知道 _lake/deps 里有什么。它只会在 Lean 内置的默认路径查找依赖，所以会报 “unknown package 'Mathlib'”。

因此，如果你想在命令行下直接编译或运行含有 import Mathlib 的代码，应使用 Lake 提供的环境或命令，例如：

1. lake build

   • 在项目根目录里执行 lake build，它会自动帮你处理依赖并编译所有需要的文件。
   • 如果只是想确认可以成功编译，使用 lake build 即可。

2. lake exe

   • 如果你在 lakefile.lean 里声明了可执行目标（lean_exe），可以用 lake exe <exeName> 来运行它。

3. lake env lean ...

   • 如果你想在命令行里“交互式”地调用 lean 而又利用 Lake 的依赖信息，可以用

     bash
     lake env lean someFile.lean

     这样就会在包含正确依赖配置的环境中执行 Lean 编译器，能找到 Mathlib 等依赖。

小结

• VS Code 中之所以能正常使用 import Mathlib，是因为它自动用 Lake 的依赖配置来编译。
• 在命令行下，不要直接用 lean someFile.lean 来编译 Lake 项目；要么用 lake build，要么用 lake env lean someFile.lean。

这样就不会出现 “unknown package 'Mathlib'” 的错误了。

目前，Lake 并没有提供一个类似 lake list 之类的命令用来直接列出安装了哪些第三方包（即 require 的依赖）。常用的与依赖相关的命令主要是：

• lake update：下载/更新依赖
• lake build：构建项目及其依赖
• lake print-paths：打印项目里的一些搜索路径

查看依赖的常见方法

1. 查看 lakefile.lean
   你的 Lake 项目所用到的所有第三方依赖都显式地写在 lakefile.lean 里，例如

   lean
   require mathlib from git
     "https://github.com/leanprover-community/mathlib4.git" @ "master"
   require Foobar from "..."

   这就是 Lake 要安装的依赖列表。

2. 查看 _lake/deps 文件夹
   当你执行 lake build 或 lake update 后，Lake 会把依赖仓库拉取到 _lake/deps/ 目录（默认在项目根目录）。你可以在这里看到每个依赖对应的文件夹，比如 _lake/deps/mathlib、_lake/deps/Foobar 等。

3. 查看 _lake/lake-manifest.json
   这个文件是 Lake 记录依赖信息、版本等的内部清单。你可以打开它，能看到依赖的源地址、commit 等信息。虽然它并不是专门给用户阅读的，但有兴趣也可在里面查看当前所有依赖。

是否可以列出已安装的所有包？

结论：当前没有内置命令可以一键列出 “本项目依赖了哪些包” 以及 “它们各自的版本/commit”。如果需要查看，主要依靠上面提到的几种做法（lakefile.lean、_lake/deps、_lake/lake-manifest.json）。

如果你需要更自动化或者更友好的列表输出，可以自行写一个小脚本解析 lake-manifest.json 或者读取 lakefile.lean。但是 Lake 本身并未提供专门的 lake list 或 “包管理可视化” 命令。

下面给出一些常见排查思路，帮助你找出为什么在离线机器 B 上会出现 “unknown package 'Mathlib'”：

1. 检查是否使用了 lake 还是直接用 lean

• 在 VS Code 或有网络的环境里，我们通常都是用 Lake 的项目管理来编译，所以 import Mathlib 没问题。
• 如果你在命令行中直接运行 lean xx.lean 而不是 lake env lean xx.lean（或 lake build），就会让 Lean 找不到通过 Lake 安装的依赖。

解决方案：
在项目根目录下运行以下命令，而不是直接 lean xx.lean：

bash
lake build
-- 或者
lake env lean xx.lean

这样 Lean 才会带着 Lake 的依赖信息一起编译。

2. 检查是否在正确的项目目录中运行

Lake 会从“当前目录向上”搜索 lakefile.lean，如果你在错误的目录下（比如在子目录或其他路径），Lake 找不到正确的项目文件，就无法加载依赖。

排查方式：

1. 确认你在“包含 lakefile.lean 的项目根目录”里执行命令：

   bash
   cd my_lean_project
   lake env lean SomeFile.lean

2. 如果你打开 VS Code，也要确保 “打开的文件夹就是项目根目录”，而不是只打开了某个子文件夹或仅一个 .lean 文件。

3. 检查 _lake/deps/mathlib 是否拷贝完整

1. 在有网络的电脑 A 上，Lake 把 Mathlib4 下载/编译到 my_lean_project/_lake/deps/mathlib。
2. 你需要完整地把 _lake/deps/mathlib 文件夹拷贝到离线机器 B 上对应的 my_lean_project/_lake/deps/mathlib 位置。
3. 同时，也要保证 _lake/lake-manifest.json 存在并且指向的路径与结构没有破坏。

如果 _lake/deps/ 下没有 mathlib 文件夹，或者它里面缺少源码/编译产物，就会导致 import Mathlib 失败。

4. 检查 lake-manifest.json 和 lakefile.lean 中的依赖配置

你提到已经手动修改了 lake-manifest.json、lakefile.lean 里的路径信息。这里要注意：

1. Lake 的本地依赖要么是 Git URL（file:///...），要么是纯目录依赖（require mathlib from "../someFolder"）。
2. 如果你仍然写着原先的 GitHub URL，但在离线机器上无法访问网络，Lake 会尝试拉取失败。
3. 如果你写的是本地路径，也要确保该路径真的存在，并且对应的文件夹中有 mathlib4 的源码。
4. lake-manifest.json 不建议手动改，因为它是 Lake 自动生成的，会包括路径、版本、commit 等信息。最稳妥做法是：
   • 在 离线机器 上将 lakefile.lean 改写为指向本地依赖（见下文示例）。
   • 删掉 _lake 文件夹和 lake-manifest.json。
   • 再执行一次 lake build（即使是离线，也可以让 Lake 从本地路径做复制/编译），自动生成新的 lake-manifest.json。

本地路径依赖的示例

如果你想让离线机器 B 直接用“拷贝过去的 Mathlib4 源码”，可以改 lakefile.lean 这样写（示例）：

lean
import Lake
open Lake DSL

package myLeanProject

-- 这里指向本地 mathlib4 的源码路径，比如放在 ../offline_deps/mathlib4
-- 或者放在 my_lean_project/mylib/mathlib4 下面都可以
require mathlib from "../offline_deps/mathlib4"

@[default_target]
lean_lib MyLeanProject

然后：

1. 把 ../offline_deps/mathlib4 一整个文件夹（里面有 Mathlib/, lakefile.lean, .git(可选) 等）拷到 B 上同样位置。
2. 删掉 _lake/ 和 lake-manifest.json，重新在离线环境下执行：

   bash
   lake build

   Lake 会发现 “mathlib” 是一个本地路径依赖，从那个目录复制/编译 Mathlib 而不访问网络。

5. 检查 Lean / Lake / Elan 版本是否兼容

1. 离线机器 B 上，你也把 .elan 文件夹以及 toolchain 都拷贝了过去。
2. 但是否在 B 上执行 lean --version、lake --version 看看跟 A 完全一致？
3. 如果机器架构不同（比如 A 是 x86_64，B 是 arm64），直接拷贝可执行文件不一定能运行，需要单独编译或下载匹配架构的 Lean/Lake。

6. 可能的简化做法

如果要在离线环境中部署 Mathlib4，不一定要完全照搬 A 上 _lake 文件夹的所有产物。你可以：

1. 在 A 机器上克隆 mathlib4 源码（或 lake build 一个 local 依赖版本），确保这个版本能跟你的 Lean toolchain 配合使用。
2. 拷贝这个 mathlib4 源码目录到 B。
3. 在 B 上的项目 lakefile.lean 中将

   lean
   require mathlib from "/path/to/your/copied/mathlib4"

   指向本地源码所在位置。
4. 删掉 B 上项目的 _lake 文件夹，重新 lake build。
   • Lake 不需要访问网络就会把依赖从本地复制并编译。
   • 这样比手动改 lake-manifest.json 要更稳妥，也更清晰。

小结

导致 “unknown package 'Mathlib'” 的根本原因，通常是 离线环境下没有正确让 Lake 知道 Mathlib 在哪里，或者 没有通过 Lake 来编译。常见排查点：

1. 是否用 lake build / lake env lean 而不是直接用 lean？
2. _lake/deps/mathlib 是否完整拷贝？
3. lakefile.lean 中对 Mathlib 的依赖指向是否正确（如果用了本地路径，路径要对；如果是 Git URL 而离线没网，就会失败）？
4. Lean / Lake 版本是否兼容、同一架构？

最推荐做法：

• 在离线机器 B 上，把 lakefile.lean 改为本地路径依赖，让 Lake 自己在本地重新生成 _lake 等文件，而不是手动改 lake-manifest.json。
• 之后用 lake build 或 lake env lean 来编译 / 运行带有 import Mathlib 的 Lean 代码。

从你描述的情况来看，最大的疑点在于 Lake 依赖的实际目录 和 Mathlib4 是否真的被拷贝/引用成功。以下几点可帮助排查问题：

1. _lake vs .lake 的区别

• 旧版本的 Lake（以及官方文档示例）默认会在项目根目录下生成名为 _lake 的文件夹来存放依赖。
• 新版本的 Lake（或者基于一些自定义设置）有可能改成了在项目根目录下生成 .lake 文件夹。
• 无论是 _lake 还是 .lake，里面通常会有某种形态的 deps/ 或 packages/ 文件夹，用于存放第三方包的源码和编译产物。

你提到在 A、B 两台电脑的项目目录下都只看到一个 .lake 文件夹（而不是 _lake），这是可能的，说明 Lake 采用了 .lake 作为缓存目录。

重点：不管它叫 _lake 还是 .lake，Lake 的依赖一般会放在（或链接在）一个类似 deps/ 或 packages/ 这样的子目录中。如果你在 .lake/packages 里看不到 mathlib，就表示 Mathlib 的依赖并没有被正常拉取/识别/缓存到这里来；取而代之的是你发现了 aesop, Cli, importGraph, proofwidgets 等，这些可能是 Lean 自带或其他依赖包，与 Mathlib 并非同一个来源。

2. 确定是否真的“离线”拷贝了 Mathlib4

Lake 在有网的环境下，如果在 lakefile.lean 中 require mathlib from git ...，就会拉取 Mathlib4 并编译。编译成功后，你在 A 机器 上能够

bash
lake env lean MyFile.lean

且 import Mathlib 不报错。

但是在离线的 B 机器 上，如果你仅仅拷贝了 .lake 文件夹和 lake-manifest.json 等，有时仍不足以让 Lake 知道 “Mathlib4 的源码” 就在本地，因为：

1. Lake 有时会把源码克隆到（或硬链接到）.lake/packages/mathlib（或者类似名字）下；如果这个目录里没有 mathlib，那就说明压根没把 mathlib4 的源码拷过去。
2. 你提到在 .lake/packages 里只看到 aesop, Cli, importGraph, proofwidgets，这恰恰说明 Lake 并没有把 Mathlib 存在这里。而 aesop 等依赖包是 Lean 或其他包在编译时拉取的依赖。
3. 即使 lake-manifest.json 里列了 Mathlib 相关信息，如果对应的源码目录没被复制完整，Lake 依旧无法离线使用它。

3. 检查当前 lakefile.lean 中 Mathlib 的依赖声明

请你再打开项目根目录下的 lakefile.lean，看看你是怎么写的。常见有两种情况：

1. 用 Git 依赖（在线场景）

   lean
   require mathlib from git
     "https://github.com/leanprover-community/mathlib4.git" @ "master"

   这需要联网去 GitHub 拉取。离线下必然会失败。
2. 用本地路径

   lean
   require mathlib from "../path/to/local/mathlib4"

   这才是离线可行的方式，Lake 会从本地目录复制/编译 Mathlib。

若你还是写着 GitHub URL，那在 B 机器上（离线）执行 lake build 就会尝试去下载网络依赖，必然失败。可能 Lake 遇到无法下载时也就不会在 .lake/packages 下创建 mathlib。

4. 不建议手动改 lake-manifest.json

lake-manifest.json 是 Lake 的“内部产物”，里面记录了各依赖的 URL、版本、缓存路径等。手动修改它往往容易出问题，尤其是路径一旦不匹配，Lake 会忽略或报错。

更好的做法：

1. 在 离线机器 B 上，把 lakefile.lean 改为使用本地路径依赖。比如：

   lean
   import Lake
   open Lake DSL
   
   package myLeanProject
   
   -- 假设你在 B 上把 mathlib4 源码放在同一层 ../mathlib4
   require mathlib from "../mathlib4"
   
   @[default_target]
   lean_lib MyLeanProject

2. 然后把你在 A 机器 上下载好的 mathlib4 源码（含所有文件）复制到 B 的对应位置。
3. 在 B 上删除 .lake 文件夹和 lake-manifest.json，重新执行：

   bash
   lake build

   这样 Lake 就会在离线环境下，从你指定的本地路径（../mathlib4）加载并编译 Mathlib，而无需访问网络。

5. 为什么 .lake/packages 里出现了 aesop, Cli, importGraph, proofwidgets？

• 这是因为 Lean 4 或你项目中的某些其他模块依赖了这些包，Lake 在 A 机器 上编译时已经拉取/缓存了它们，所以拷到 B 机器上后它们还在 .lake/packages 里。
• 但是 Mathlib4 并不在 .lake/packages 下，说明它或许是通过别的方式编译过，或者没有拷贝成功。Mathlib4 也可能因为版本差异、路径问题而被“排除”了。

6. 总结排查思路

结合你目前的描述，最可能的问题是：

1. Mathlib4 源码本身并未正确拷贝到 B；或者说虽然拷贝了，但 Lake 并未识别它。
2. lakefile.lean 里依然是网络依赖写法（Git URL），导致离线无法拉取；或者手动改 lake-manifest.json 路径不对。
3. 你在 B 上 lake build 后看 .lake/packages 里确实没有 mathlib，说明 Lake 仍然没能成功加载 Mathlib 的依赖。

建议你做以下操作，往往最省事：

1. 在 A 机器 上，新建一个简单项目：

   bash
   lake new MyLeanProject
   cd MyLeanProject

2. 编辑 lakefile.lean，把对 Mathlib 的依赖声明成 本地路径（不是 GitHub URL）。如果你想固定某个 Mathlib 版本，可以在 A 上克隆 mathlib4 仓库、切换到对应版本，然后 require mathlib from "../path/to/cloned/mathlib4".
3. lake build 一次，确认可以用 lake env lean 编译且成功。
4. 拷贝整个 MyLeanProject 文件夹（包含 .lake, .gitignore, lake-manifest.json, lakefile.lean 等所有内容）以及你指定的那份 mathlib4 源码目录（如果在项目外路径就要对应地复制过去）到 B 机器。
5. 在 B 机器上（离线），进入 MyLeanProject，执行

   bash
   lake build

   看看能否顺利编译并用 import Mathlib。

如果这样操作仍然找不到 Mathlib，那就要仔细检查：

• 你指定的本地路径在 B 上是否真实存在？
• .lake 或 lake-manifest.json 是否被你无意间改坏？
• 目录结构是否一致？
• Lean / Lake 二进制在 B 上能正常运行吗？

只要路径正确、版本对应、以及 Lake 能读取到本地 Mathlib 源码，这样的“离线”安装方式是可行的。