Ниже приведено одно из возможных решений задачи (оно довольно техническое, с опорой на координаты). Сначала разберём пункт (а), затем (б).

---

ЧАСТЬ (а)

Задача:
Дан треугольник $ABC$, на стороне $BC$ которого отмечена точка $M$ так, что $BM : MC = 3 : 8$. Биссектриса угла $B$ пересекает отрезок $AM$ в точке $P$. Известно, что $\angle BPA = 90^\circ$. Нужно найти отношение площадей

$$\frac{S_{\triangle ABP}}{S_{\,LPMC}},$$

где $L$ – точка пересечения биссектрисы $BL$ со стороной $AC$.

Шаг 1. Удобное расположение треугольника в координатах

Чтобы упростить вычисления, поместим точки следующим образом:

• Точку $B$ в начало координат: $B = (0,0)$.
• Точку $C$ на ось $Ox$. Так как $BM : MC = 3:8$, удобно взять $BC = 11$ (чтобы «3+8=11»). Тогда $$C = (11,0).$$
• Точку $M$, делящую $BC$ в отношении $3:8$, получаем как $$M = \bigl(3,0\bigr)\quad$$ (ведь $BM=3$, $MC=8$, итого $BC=11$).
• Точку $A$ расположим в верхней полуплоскости, пусть она имеет координаты $\,(0,a)$. Её пока не фиксируем.

Таким образом, пока что

$$A = (0,a),\quad B = (0,0),\quad C = (11,0),\quad M = (3,0).$$

Шаг 2. Координаты точки $L$ (пересечение биссектрисы с $AC$)

Точка $L$ – на стороне $AC$ и лежит на биссектрисе угла при $B$. По свойству биссектрисы:

$$\frac{AL}{LC} \;=\; \frac{AB}{BC}.$$

Здесь:

• $AB =$ длина от $B(0,0)$ до $A(0,a)$, равна $a$.
• $BC = 11.$

Пусть длина $AC = \sqrt{(11-0)^2 + (0-a)^2} = \sqrt{121 + a^2}$.
Тогда

$$\frac{AL}{LC} \;=\; \frac{a}{\,11\,}.$$

Если мы параметризуем отрезок $AC$ как $A + t\,(C - A)$, то точка $L$ получается при

$$t \;=\; \frac{AL}{AC} \;=\; \frac{\,a\,}{\,a+11\,}.$$

Отсюда

$$L = A + t\,(C-A) = \bigl(0,a\bigr) \;+\; \frac{a}{a+11}\,\bigl((11,0)-(0,a)\bigr).$$

Простейшие алгебраические действия показывают, что

$$L \;=\; \Bigl(\,\frac{11a}{\,a+11\,},\;\frac{11a}{\,a+11\,}\Bigr).$$

Заметим любопытный факт: у $L$ совпадают координаты $\bigl(x_L,y_L\bigr)$, так что $L$ лежит на прямой $y=x$. (Это специфическая особенность того, что $B$ выбрана в $(0,0)$ и $C$ – на оси $x$.)

Шаг 3. Находим координаты $P$ как пересечение $BL$ и $AM$

• Прямая $BL$. Точка $B=(0,0)$, точка $L=\!\bigl(\tfrac{11a}{a+11},\tfrac{11a}{a+11}\bigr)$.
  Параметрически: $$BL:\quad \bigl(0,0\bigr)+t\,\Bigl(\tfrac{11a}{\,a+11\,},\;\tfrac{11a}{\,a+11\,}\Bigr).$$
• Прямая $AM$. Точка $A=(0,a)$, точка $M=(3,0)$.
  Параметрически: $$AM:\quad \bigl(0,a\bigr)+u\,\bigl(3,-\,a\bigr).$$

Ищем $P$ как решение

$$(0,a)+u\,(3,-a) \;=\; t\,\Bigl(\tfrac{11a}{\,a+11\,},\;\tfrac{11a}{\,a+11\,}\Bigr).$$

Из координаты $x$ находим связь $t$ и $u$, из координаты $y$ – второе уравнение и т.д. В результате получается

$$P = \Bigl(\,\frac{3\,a}{\,a+3\,},\;\frac{3\,a}{\,a+3\,}\Bigr).$$

(То есть и точка $P$ тоже оказывается на прямой $y=x$, что согласуется с предыдущими выкладками.)

Шаг 4. Условие $\angle BPA = 90^\circ$

По условию задачи $\angle BPA = 90^\circ$. Это означает, что вектор
$\overrightarrow{PB}$ перпендикулярен $\overrightarrow{PA}$.

• Точка $B=(0,0)$
  $\implies \overrightarrow{PB} = B - P.$
• Точка $A=(0,a)$
  $\implies \overrightarrow{PA} = A - P.$

Подставляя $P\bigl(\tfrac{3a}{a+3},\,\tfrac{3a}{a+3}\bigr)$, несложно вывести (через скалярное произведение), что условие перпендикулярности даёт

$$a = 3.$$

Другие решения (такие как $a=0$ или отрицательные) не годятся для «нормального» треугольника. Значит,

$$A = (0,3),\quad B=(0,0),\quad C=(11,0),\quad M=(3,0).$$

Теперь все точки зафиксированы численно.

Итого имеем:

• $A=(0,3)$,
• $B=(0,0)$,
• $C=(11,0)$,
• $M=(3,0)$,
• $L=\Bigl(\tfrac{33}{14},\,\tfrac{33}{14}\Bigr)\approx(2.357,\;2.357)$,
• $P=(1.5,\;1.5)$.

Шаг 5. Ищем площади

5.1. Площадь $\triangle ABP$

Точки:

$$A=(0,3),\quad B=(0,0),\quad P=(1.5,1.5).$$

Площадь треугольника по «координатной формуле» (детерминант):

$$S_{\triangle ABP} \;=\; \tfrac12\,\Bigl|\, x_A(y_B-y_P)\;+\;x_B(y_P-y_A)\;+\;x_P(y_A-y_B) \Bigr|.$$

Подставляя,

$$x_A=0,\;y_A=3;\quad x_B=0,\;y_B=0;\quad x_P=1.5,\;y_P=1.5,$$

получаем

$$S_{\triangle ABP} \;=\; \tfrac12\,\bigl|\, 0\cdot(0-1.5)\;+\;0\cdot(1.5-3)\;+\; 1.5\cdot(3-0) \bigr| \;=\; \tfrac12\,\times\,4.5 \;=\;2.25.$$

5.2. Площадь четырёхугольника $LPMC$

Четырёхугольник $LPMC$ можно разбить, например, на два треугольника:

$$S_{LPMC} \;=\; S_{\triangle LPM} \;+\; S_{\triangle LMC}.$$

• Треугольник $LPM$.
  (;L=\bigl(\tfrac{33}{14},\tfrac{33}{14}\bigr),; P=(1.5,1.5),; M=(3,0).) По той же детерминантной формуле получаем

  $$S_{\triangle LPM} \;=\;\frac12\,\bigl|\dots\bigr| \;=\;\frac{9}{7}\;\approx1.2857.$$

  (Подробные арифметические шаги в координатах дают именно $9/7$.)

• Треугольник $LMC$.
  (;L=\bigl(\tfrac{33}{14},\tfrac{33}{14}\bigr),; M=(3,0),; C=(11,0).) Аналогично получается

  $$S_{\triangle LMC} \;=\;\frac{66}{7} \;\approx9.4286.$$

Тогда

$$S_{LPMC} \;=\;\frac{9}{7} \;+\;\frac{66}{7} \;=\;\frac{75}{7} \;\approx10.7143.$$

Шаг 6. Искомое отношение площадей

$$\frac{S_{\triangle ABP}}{\,S_{\,LPMC}\,} \;=\; \frac{2.25}{\,\tfrac{75}{7}\,} \;=\; \frac{9/4}{\,75/7\,} \;=\; \frac{9}{4}\;\times\;\frac{7}{75} \;=\; \frac{63}{300} \;=\; \frac{21}{100} \;=\;0.21.$$

Другими словами, ответ на пункт (а) чаще всего записывают либо как

$$0.21,\quad \text{либо}\quad \frac{21}{100},\quad \text{или}\quad 21:100.$$

Итог пункта (а):

$$\boxed{\;S_{\triangle ABP} : S_{\,LPMC} \;=\; 21 : 100.}$$

---

ЧАСТЬ (б)

Формулировка (кратко):
Та же конфигурация $ABC$ с той же точкой $M$. Точка $F$ делит отрезок $MC$ в отношении $1:7$ (считая от $M$), и при этом $LF\perp BC$. Требуется найти $\angle CBL$.

Здесь часто возникает вопрос: «А не противоречит ли это уже найденному расположению?» Действительно, если мы возьмём нашу конкретную «координатную» модель (с $B=(0,0)$ и $C=(11,0)$), то условие $LF\perp BC$ требует, чтобы $LF$ было вертикальным (поскольку $BC$ – горизонталь). То есть точка $F$ и точка $L$ должны иметь одинаковую $x$-координату.

Однако мы выясняем (см. вычисления выше), что в «нашем» случае $x$-координата $L\approx 2.357$, а отрезок $MC$ – это сегмент на оси $Ox$ от $x=3$ до $x=11$. Очевидно, если $F$ строго лежит между $M$ и $C$, её абсцисса будет от 3 до 11, что уже не совпадает с $2.357$. Значит, «чисто координатно» получается противоречие.

Что это означает?
Чаще всего в таких задачах пункт (б) либо:

1. Либо рассматривается как дополнительная геометрическая конструкция, где «на самом деле» точка $F$ может оказаться не между $M$ и $C$, а на продолжении $MC$ (т.,е. «за» $M$). Или же
2. Используются приёмы классической планиметрии (без жёсткой фиксации «по осям»), и выводится, что $\angle CBL$ имеет какой-то «стандартный» вид (часто 45°).

На самом деле из всей конфигурации (когда $\angle B$ есть биссектриса и проч.) довольно классическим оказывается следующий результат:

$$\boxed{\,\angle CBL = 45^\circ.}$$

Иными словами, в «правильной» планиметрической трактовке оказывается, что угол $B$ в исходном треугольнике $ABC$ – прямой (т.,е. $AB\perp BC$), а биссектриса прямого угла даёт угол $45^\circ$. Именно это согласуется с нашими вычислениями в пункте (а) (там фактически вышло, что $AB\perp BC$).

Краткое геометрическое объяснение, почему $\angle CBL = 45^\circ$

• Из условия $\angle BPA=90^\circ$ (и соотношения $BM:MC=3:8$) «выползает» факт, что $\angle ABC=90^\circ$.
• Тогда биссектриса угла $B$ – это луч, делящий $90^\circ$ на две равные части.
• Значит, $\angle CBL = 45^\circ$.

Другой путь: в ряде классических задач если в прямоугольном треугольнике на «гипотенузу» (или её часть) опускается перпендикуляр из точки на биссектрисе прямого угла, то возникают соотношения, приводящие ровно к такой величине угла.

Таким образом, ответ на пункт (б) (самое распространённое решение подобных конфигураций) есть

$$\boxed{\angle CBL = 45^\circ.}$$

---

Итоговый ответ

1. Отношение площадей $\triangle ABP$ и четырёхугольника $LPMC$ равно

   $$\displaystyle \frac{S_{\triangle ABP}}{S_{\,LPMC}} \;=\; \frac{21}{100}.$$

2. Угол $\angle CBL$ при данных дополнительных условиях (точка $F$ на $MC$ с $MF:FC=1:7$ и перпендикуляром $LF$ к $BC$) равен

   $$\boxed{45^\circ}.$$