logoChat01.ai

Нахождение стороны треугольника

Создано: 10 января 2025 г.

Отвечено с использованием OpenAI 01 от OpenAI01

Вопрос

треугольник DEF, где Сторона DE = √6 ∠E = 45° ∠F = 120° Требуется найти длину стороны DF.

Мысль

Determining angles

I’m thinking through angle D in triangle DEF, knowing angles E and F. Angle D is 15°.

Mapping out the triangles

I’m considering triangle DEF's side lengths and angles, focusing on side DF.

Gathering details

I’m working with the law of sines to find DF, knowing DE and angles F and E. This helps me understanding the triangle's sides and angles more clearly.

Calculating DF

I’m evaluating DF using DE, sin(45°), and sin(120°). After simplifying, DF comes out to a neat expression involving square roots.

Breaking down the expression

I’m simplifying the fraction (√2/2) / (√3/2), then multiplying by √6 to express DF as √4, which further simplifies to 2.

Revisiting the process

I’m rechecking the steps to ensure accurate multiplication and simplification of terms, leading to a clear expression for DF. Each calculation confirms the results are spot on.

Thought about треугольник DEF für 12 Sekunden

Ответ

Чтобы найти длину стороны DFDF, удобнее всего воспользоваться законом синусов:

DEsin⁡∠F  =  DFsin⁡∠E  =  EFsin⁡∠D.\frac{DE}{\sin \angle F} \;=\; \frac{DF}{\sin \angle E} \;=\; \frac{EF}{\sin \angle D}.

Нам известно:

  • DE=6DE = \sqrt{6}
  • ∠E=45∘\angle E = 45^\circ
  • ∠F=120∘\angle F = 120^\circ

Сначала найдём третью вершину треугольника ∠D\angle D:

∠D=180∘−(∠E+∠F)=180∘−(45∘+120∘)=15∘.\angle D = 180^\circ - (\angle E + \angle F) = 180^\circ - (45^\circ + 120^\circ) = 15^\circ.

Но для нахождения DFDF достаточно воспользоваться частью закона синусов с известными сторонами и углами:

DEsin⁡(∠F)=DFsin⁡(∠E)⟹DF=DE⋅sin⁡(∠E)sin⁡(∠F).\frac{DE}{\sin(\angle F)} = \frac{DF}{\sin(\angle E)} \quad\Longrightarrow\quad DF = DE \cdot \frac{\sin(\angle E)}{\sin(\angle F)}.

Подставляем значения:

DF=6  ⋅  sin⁡(45∘)sin⁡(120∘)=6  ⋅  2232=6  ⋅  2/23/2.DF = \sqrt{6} \;\cdot\; \frac{\sin(45^\circ)}{\sin(120^\circ)} = \sqrt{6} \;\cdot\; \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{6} \;\cdot\; \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{3}/2}.

Заметим, что деление на 32\frac{\sqrt{3}}{2} эквивалентно умножению на 23\frac{2}{\sqrt{3}}, поэтому:

DF=6  ×  22  ×  23=(6×22)  ×  23.DF = \sqrt{6} \;\times\; \frac{\sqrt{2}}{2} \;\times\; \frac{2}{\sqrt{3}} = \Bigl(\sqrt{6} \times \frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) \;\times\; \frac{2}{\sqrt{3}}.

Рассмотрим отдельно множитель 6×22\sqrt{6} \times \frac{\sqrt{2}}{2}:

6×22=6⋅22=122=232=3.\sqrt{6} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{12}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}.

Таким образом,

DF=3×23=2.DF = \sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 2.

Ответ: DF=2DF = 2.

Поделиться этим Q&A