Энергия конденсатора при разряде

Создано: 3 января 2025 г.

Отвечено с использованием GPT-4o от OpenAI01

Вопрос

Плоский воздушный конденсатор заполнили керосином (диэлектрическая проницаемость 2.1) и зарядили, сообщив 46.5 джоулей энергии. Затем конденсатор отсоединили от источника, слили половину керосина и разрядили. Сколько джоулей энергии выделилось при разрядке, если пластины конденсатора были ориентированы парралельно поверхности земли?

Ответ

Для решения задачи сначала разберемся, как изменяется энергия конденсатора при извлечении половины керосина и последующем разряде.

Дано:

Диэлектрическая проницаемость керосина: $\varepsilon = 2.1$ .
Начальная энергия: $W_1 = 46.5 \, \text{Дж}$ .
Конденсатор отсоединен от источника, т.е. заряд $Q$ сохраняется.

Энергия конденсатора

Энергия конденсатора выражается как:

W = \frac{Q^2}{2C},

где $C$ — емкость конденсатора.

Емкость плоского конденсатора с диэлектриком:

C = \varepsilon \varepsilon_0 \frac{S}{d},

где:

$\varepsilon_0$ — электрическая постоянная ( $8.85 \cdot 10^{-12} \, \text{Ф/м}$ ),
$S$ — площадь пластин,
$d$ — расстояние между пластинами.

Этапы решения:

Начальная энергия $W_1$ :
При полном заполнении керосином емкость $C_1 = \varepsilon C_0$ , где $C_0$ — емкость без диэлектрика.

Энергия:

W_1 = \frac{Q^2}{2C_1}.

После удаления половины керосина:
При удалении половины керосина емкость становится равной:

C_2 = \frac{C_1 + C_0}{2} = \frac{\varepsilon C_0 + C_0}{2} = \frac{(\varepsilon + 1) C_0}{2}.

Так как заряд $Q$ сохраняется, новая энергия $W_2$ будет:

W_2 = \frac{Q^2}{2C_2}.

Отношение $W_2$ и $W_1$ :

\frac{W_2}{W_1} = \frac{C_1}{C_2}.

Подставим $C_1$ и $C_2$ :

\frac{W_2}{W_1} = \frac{\varepsilon}{\frac{\varepsilon + 1}{2}} = \frac{2\varepsilon}{\varepsilon + 1}.

Подставим $\varepsilon = 2.1$ :

\frac{W_2}{W_1} = \frac{2 \cdot 2.1}{2.1 + 1} = \frac{4.2}{3.1} \approx 1.354.

W_2 = \frac{46.5}{1.354} \approx 34.35 \, \text{Дж}.

Выделившаяся энергия:
Разность энергий дает выделившуюся энергию:

\Delta W = W_1 - W_2 = 46.5 - 34.35 \approx 12.15 \, \text{Дж}.

Ответ:

При разряде конденсатора выделилось $12.15 \, \text{Дж}$ .

Поделиться этим Q&A