Метод раскрасок задачи

Ниже приведён примерный конспект занятия по теме «Метод решения задач с помощью раскрасок», с акцентом на шахматную раскраску и примерами задач.

---

1. Введение в метод раскрасок

Цели и задачи занятия:

• Познакомить учащихся с идеей раскрашивания фигур, таблиц, графов и пр. для упрощения решения задач.
• Показать различные виды раскрасок и их назначение.
• Научить применять шахматную раскраску при решении конкретных примеров.

Основные идеи метода:

• Суть метода раскрасок: мы «классифицируем» элементы задачи (клетки, вершины, отрезки и т.д.) путём раскрашивания в разные цвета.
• Раскраска помогает выявить закономерности, симметрию или ограничения, которые не всегда видны без дополнительной визуализации.
• Один из самых распространённых подходов — шахматная раскраска, где объекты чередуются по цветам, как клетки шахматной доски.

---

2. Виды раскрасок

При решении задач, особенно олимпиадных и логических, можно встретить несколько видов раскрасок:

1. Раскраска клеток на шахматном поле (или любого двумерного поля)

   • Чередование двух цветов (чаще всего чёрный и белый).
   • Позволяет удобно отслеживать «паритет» (нечётные и чётные ходы, клетки).
   • Широко используется для решения комбинаторных и логических задач, а также задач на паритет.

2. Раскраска графов

   • Вершины или рёбра графа раскрашивают так, чтобы никакие смежные вершины (или рёбра) не имели одинакового цвета.
   • Применяется для задач на планарность, задачи о четырёх красках и т.д.

3. Раскраска фигур при разбиении

   • Делим многоугольники, фигуры на равные части и раскрашиваем их согласно некоторому правилу.
   • Помогает отслеживать движение по фигуре, вычеркивание участков и другие операции.

Ключевая особенность: во всех этих видах раскрасок мы стараемся сделать так, чтобы объекты, имеющие некое «свойство конфликта» (смежность, одинаковый индекс, шаг в условии), получали разные цвета. Это высвечивает структуру задачи, облегчая поиск решения.

---

3. Шахматная раскраска: акцент занятия

Что такое шахматная раскраска:

• Представьте классическую шахматную доску $8 \times 8$, где соседние клетки по горизонтали и вертикали имеют разные цвета.
• Расширяем идею: любую прямоугольную или квадратную решётку $m \times n$ можно раскрасить по такому же принципу: клетки с одинаковой суммой координат получают один цвет, с разной суммой – другой.

Когда это полезно:

• При задачах, связанных с «шагающими» фигурами (ферзи, кони, слоны и т.д.).
• При задачах на покрытие и разрезание фигур (объясняет, почему некоторые клетки остаются «непокрытыми»).
• При подсчёте количества ходов или перемещений (решаются задачи на паритет).

Пример:

• Если клетка обозначена координатами $(i, j)$, то красим её в белый цвет, если $i + j$ чётно, и в чёрный, если $i + j$ нечётно.
• Эта система даёт «шахматное» расположение цветов.

---

4. Примеры задач на шахматную раскраску

Ниже несколько типовых задач, где шахматная раскраска оказывается ключом к решению.

Задача 1. Удаление двух клеток с противоположных углов

Условие:
Из прямоугольника $8 \times 8$ (шахматная доска) убрали две клетки, расположенные на диагонали, причём эти клетки оказались одного цвета. Можно ли покрыть оставшиеся 62 клетки домино (каждое домино покрывает ровно 2 соседние клетки)?

Идея решения:

1. Выполните шахматную раскраску доски.
2. Убедитесь, что удалённые клетки одного цвета, значит, нарушается баланс чёрных и белых клеток (становится, например, 30 клеток одного цвета и 32 – другого).
3. Домино всегда покрывает по одной чёрной и одной белой клетке. Значит, для покрытия нужно равное количество чёрных и белых клеток.
4. Вывод: покрыть доску домино нельзя.

Задача 2. Ход коня на прямоугольном поле

Условие:
Конь совершает ходы по клеткам $m \times n$. За каждый ход конь перемещается с одной клетки на другую по правилам шахмат. Докажите, что при любом ходе конь перемещается на клетку противоположного цвета.

Идея решения:

1. Опять используем шахматную раскраску.
2. Замечаем, что ход коня «перепрыгивает» на клетку, для которой координаты меняются на $(\pm 2; \pm 1)$ или $(\pm 1; \pm 2)$.
3. Сумма координат исходной клетки и новой клетки всегда меняется на нечётное число, поэтому цвет меняется.

Применение:

• Данный факт часто используют в задачах, когда требуется выяснить, может ли конь обойти все клетки или достичь какой-то конкретной клетки.

Задача 3. «Тур или конь?» (задача на паритет клеток)

Условие:
Имеется доска $8 \times 8$. На ней находятся:

• Тур (ладья), которая ходит только по горизонталям и вертикалям,
• Конь, который ходит по правилам шахмат.

Требуется выяснить, возможно ли за одно и то же количество ходов довести фигуры до двух заданных клеток (одна клетка для тура, другая — для коня), находящихся в разных частях доски.

Идея решения:

1. Используем шахматную раскраску для оценки ходов коня.
2. Для тура раскраска не даёт непосредственных ограничений, но можно оценить расстояние в терминах «число ходов» (манхэттенское расстояние, если тур идёт без преград).
3. Сравниваем, за сколько ходов каждая фигура может дойти до нужной клетки, учитывая, что конь всегда меняет цвет клетки.
4. Если целевые позиции для коня и тура несоответствующим образом расположены (например, позиция, требующая от коня нечётное число ходов, но для тура — чёткое), то сделать это в одно и то же количество ходов может оказаться невозможным.

---

5. Рекомендации по решению задач с раскраской

1. Начинайте с визуализации: нарисуйте схему, раскрасьте клетки или вершины, чтобы «увидеть» структуру.
2. Оцените баланс цветов: часто задачи сводятся к подсчёту, сколько клеток/объектов каждого цвета задействовано.
3. Проверяйте «шагающие» свойства: если есть фигуры, которые ходят с одной клетки (цвета) на другую (цвет), то такой прыжок обычно сопровождается сменой цвета.
4. Ищите противоречия: если, например, для покрытия или расположения фигур требуется равное количество клеток каждого цвета, а в задаче это условие нарушено, решение будет невозможно.
5. Приём «суммы координат»: часто помогает формально объяснить, почему при переходе мы меняем цвет (чётность суммы координат).

---

6. Подведение итогов занятия

• Главная мысль: шахматная (и любая другая «контрастная») раскраска помогает отследить закономерности и создаёт механизм «паритета» (чёрные и белые, чётные и нечётные).
• Практическая польза: метод раскраски широко используется во многих олимпиадных задачах, где фигурируют ходы шахматных фигур, покрытие доски домино, анализ смежности вершин графа и т.д.
• Закрепление: разберите несколько задач самостоятельно, применяя шахматную раскраску. Обратите внимание на ключевую логику — прежде всего смотрите, как меняется цвет при перемещениях и есть ли равенство/неравенство количества клеток каждого цвета.

---

Дополнительные идеи для самостоятельной работы

1. Задачи на «вычеркивание» клеток: Удалите из доски несколько клеток и проверьте, остаётся ли возможность полностью покрыть фигуру фигурами определённого типа (конями, домино и др.).
2. Шахматная доска нестандартных размеров: попробуйте применить метод раскраски к доскам $2 \times n$, $3 \times n$, $6 \times n$ и т.д.
3. Сложные траектории: рассмотрите траекторию слона, ферзя или других фигур и выясните, зависит ли цвет клетки от сделанного хода.

---

Итог:
Метод раскрасок — универсальный инструмент для решения широкого спектра задач, особенно в области комбинаторики. Шахматная раскраска позволяет легко отследить «прыгающие» ходы (конь), покрытие доски, баланс чёрных и белых клеток и множество других аспектов, упрощающих логику доказательств.