Четырёхзначные числа на 25

Разбор задачи

Нам нужно найти количество четырёхзначных чисел, которые:

1. Делятся на $25$.
2. Содержат ровно две различные цифры в своей записи.

Четырёхзначное число обозначим как $\overline{ABCD}$.

---

1. Делимость на 25

Число делится на 25, если его последние две цифры образуют число, делящееся на 25. То есть $\overline{CD}$ может быть из набора $\{00,\, 25,\, 50,\, 75\}$.

Таким образом, перебираем 4 случая для $\overline{CD}$:

1. $00$
2. $25$
3. $50$
4. $75$

---

2. Ровно две различные цифры

Во всём числе $\overline{ABCD}$ должно быть ровно два разных символа (например, только «2» и «5» и никакого третьего).

Случай A: $\overline{CD} = 00$

Число имеет вид $\overline{AB00}$.

• Раз у нас есть две нули в конце, то $0$ уже входит в множество используемых цифр.
• Чтобы всего было ровно две различные цифры, то либо $A$ и $B$ совпадают с $0$, либо одна из них совпадает, другая нет. Но $A\neq 0$ (иначе число не четырёхзначное), значит:
  • $B$ обязан быть $0$, чтобы не вносить третью цифру.
  • Тогда $A$ – любая цифра от $1$ до $9$.

Значит, возможны числа вида

$$\overline{A0\,0\,0},\quad A \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}.$$

Получаем 9 вариантов.

---

Случай B: $\overline{CD} = 25$

Число имеет вид $\overline{AB25}$.

• Все цифры должны быть из набора $\{2,5\}$.
• $A\neq 0$, значит $A$ может быть $2$ или $5$.
• $B$ тоже может быть только $2$ или $5$, иначе появилась бы третья цифра.

Итого комбинаций для $(A,B)$:

$$(2,2),\;(2,5),\;(5,2),\;(5,5).$$

Всего 4 варианта.

---

Случай C: $\overline{CD} = 50$

Число имеет вид $\overline{AB50}$.

• Используемые цифры $\{A,B,5,0\}$. При условии ровно двух различных цифр это могут быть только $5$ и $0$.
• $A\neq 0$ (иначе не будет четырёхзначным), значит $A = 5$.
• $B$ может быть $5$ или $0$.

Комбинации для $(A,B)$:

$$(5,5)\quad \text{и}\quad (5,0).$$

Всего 2 варианта.

---

Случай D: $\overline{CD} = 75$

Число имеет вид $\overline{AB75}$.

• Используемые цифры $\{A,B,7,5\}$. При двух различных цифрах это могут быть только $7$ и $5$.
• $A\neq 0$, но это и не мешает, поскольку $A$ выбираем из $\{5,7\}$.
• $B$ также выбирается из $\{5,7\}$.

Комбинации для $(A,B)$:

$$(7,7),\,(7,5),\,(5,7),\,(5,5).$$

Всего 4 варианта.

---

Итог

Суммируя найденные количества:

$$9 \;(\text{для }00) \;+\; 4 \;(\text{для }25) \;+\; 2 \;(\text{для }50) \;+\; 4 \;(\text{для }75) \;=\; 19.$$

Ответ: 19.