Изобарное и изохорное нагревание

Создано: 23 декабря 2024 г.

Отвечено с использованием O1 от Chat01

Вопрос

Для изохорного нагревания порции идеального двухатомного газа на DeltaT градусов требуется количество теплоты Q=50 "Дж". Какое количество теплоты потребуется для изобарного нагревания той же порции газа на DeltaT градусов?

Мысль

Analyzing energy coefficients

OK, let me see. The problem involves examining the heat required for specific heating processes in an ideal diatomic gas, comparing isochoric and isobaric methods for a temperature change ΔT.

Thought for a couple of seconds

Ответ

Для определения количества теплоты, необходимого для изобарного нагревания, рассмотрим основные термодинамические свойства идеального двухатомного газа.

Изохорный процесс (постоянный объем):

Количество теплоты определяется формулой:
$Q_V = n C_V \Delta T$
где $C_V$ — молярная теплоемкость при постоянном объёме.
Изобарный процесс (постоянное давление):

Количество теплоты определяется формулой:
$Q_P = n C_P \Delta T$
где $C_P$ — молярная теплоемкость при постоянном давлении.

Для идеального двухатомного газа:

Молярная теплоемкость при постоянном объёме: $C_V = \frac{5}{2}R$
Молярная теплоемкость при постоянном давлении: $C_P = C_V + R = \frac{7}{2}R$

Отношение теплоемкостей:

\frac{C_P}{C_V} = \frac{\frac{7}{2}R}{\frac{5}{2}R} = \frac{7}{5}

Таким образом, количество теплоты при изобарном процессе будет:

Q_P = \frac{7}{5} Q_V

Подставляя $Q_V = 50 \, \text{Дж}$ :

Q_P = \frac{7}{5} \times 50 \, \text{Дж} = 70 \, \text{Дж}

Ответ: Для изобарного нагревания потребуется 70 Дж теплоты.

Вопрос

Тепловая машина, рабочим телом которой является идеальный газ, совершает цикл, состоящий из изобарного расширения 1-2, изохорного охлаждения 2-3, изобарного сжатия 3-4 и изохорного нагревания 4-1. Давления на изобарах отличаются в два раза. Во сколько раз изменится работа газа за цикл, если максимальную температуру в цикле увеличить на 10%? Максимальный и минимальный объёмы газа, а также минимальная температура не изменяются.

Мысль

Analyzing pressure differences

I'm examining a thermodynamic cycle with ideal gas, where isobaric processes have pressures differing by a factor of 2, identified as P1-2 and P3-4. Clarification on which is higher is needed.

Tracking temperature shifts

I'm considering the maximum temperature likely at point 2 of the cycle. Constraints include unchanged maximum and minimum volumes, and a 10% increase in maximum temperature.

Mapping the cycle

I'm laying out the cycle with fixed maximum and minimum volumes, alternating between isobaric and isochoric processes, and pressures differing by a factor of 2, while considering constant volumes.

Pulling together

I'm fixing T1 as the minimum temperature and using the ideal gas law to relate volumes and pressures during the maximum temperature expansion.

Confirming pressure relationships

I'm matching pressure values and examining the consistency of temperature and volume constraints, particularly regarding the isobaric compression and isochoric heating processes.

Figuring out cycle work

I’m thinking through the cycle's work, considering pressure and volume changes, and keeping in mind the constraints on temperature, especially with the 10% rise in the max temperature.

Calculating net work

I'm analyzing the net work in a cycle, focusing on the difference between the work done during expansion and compression, which can be represented as the area on a PV diagram.

Calculating net work

Checking the net work per cycle, I’m subtracting the work done during isobaric compression from expansion, considering the pressure ratio and volume differences.

Revisiting net work

OK, let's explore how a 10% increase in the maximum temperature, while keeping minimum temperature and volumes stable, impacts the net work per cycle.

Adjusting my approach

I’m examining a 10% rise in maximum temperature, while keeping the minimum temperature and volumes steady, to see how this affects the net work per cycle.

Adjusting the balance

It's fascinating to see that by increasing the maximum temperature by 10% while keeping the minimum temperature and volumes fixed, the pressures double due to the isobaric processes.

Raising the maximum temperature

OK, let me see. With a 10% boost to the maximum temperature while keeping the minimum temperature and volumes steady, the net work per cycle increases due to doubled pressures.

Assessing pressure shifts

I'm figuring out how the pressure ratios change compared to the original cycle after increasing the maximum temperature by 10%. This leads me to consider how these effects are conveyed.

Pinpointing the gap

I'm analyzing the tension between the pressures and volumes in the new cycle. The maximum temperature boost clashes with the ideal gas law's constraints, causing inconsistencies. Progress is evident in the reflections.

Locating the discrepancy

OK, let me see. The 10% increase in maximum temperature while keeping the minimum temperature and volumes fixed, leads to inconsistencies in the isobaric expansion and compression constraints.

Tackling inconsistencies

Hmm, I’m thinking about the issue of conflicting pressure relationships in the new cycle. The 10% increase in maximum temperature creates pressure discrepancies with fixed volumes and a constant minimum temperature.

Navigating pressure discrepancies

OK, let me see—updating max temperature causes pressure inconsistencies. Despite constant volumes and minimal temperature, pressure ratios on isobars shift, as fixed scales don't apply.

Reevaluating pressures

Taking a closer look at how a 10% increase in maximum temperature, with constant volumes and a fixed minimum temperature, affects the pressure ratios on the isobars.

Addressing temperature challenges

I'm working through how a 10% increase in maximum temperature, with constant minimum temperature and volumes, affects the pressure ratios on the isobars, revealing inconsistencies.

Evaluating pressure ratios

It's becoming clear that updating the maximum temperature by 10% while keeping other conditions the same leads to inconsistencies in the pressure ratios, showing progress in understanding the system.

Analyzing pressures

I'm working through the pressure changes after a 10% temperature increase, with fixed volumes and minimum temperature. It seems the pressure ratio on the isobars likely shifts.

Calculating changes

I'm figuring out how the net work per cycle shifts by comparing the new cycle's work with the original's, keeping fixed volumes and temperatures in mind.

Reevaluating volumes

OK, let me see. With a 10% increase in maximum temperature while keeping volumes and minimum temperature constant, inconsistencies in pressure ratios on isobars become evident.

Evaluating pressure shifts

As I ponder the pressures on isobars after a 10% temperature increase, it’s clear that fixed volumes and minimum temperature lead to a 10% pressure difference on the high isobar.

Assessing pressure changes

Hmm, I’m thinking through how keeping the same volumes and minimum temperature, but boosting the maximum temperature by 10%, affects pressure ratios on isobars. This tweak seems to clarify the idea.

Revisiting volume ratios

OK, let me see: Given the unchanged pressure ratio of 2 on the isobars, the 10% increase in maximum temperature with fixed volumes and minimum temperature suggests a 10% volume ratio alteration.

Adjusting pressure dynamics

I'm curious about maintaining the pressure ratio of 2 on the isobars while increasing the maximum temperature by 10%. This adjustment demonstrates the need for balance in pressure dynamics.

Balancing pressures

OK, let me see. Increasing the max temperature by 10% with fixed volumes and min temperature needs a 10% pressure ratio increase, while keeping the original pressure ratio of 2 consistent.

Revisiting the net work

I’m piecing together how increasing the max temperature by 10% influences the net work, keeping the original pressure ratio intact and updating pressures to examine the balance.

Examining the shift

I’m figuring out how net work per cycle ramps up by 10% with a 10% rise in max temperature, unchanged min temperature, and volumes, keeping the original pressure ratio intact.

Confirming the 10% bump

I’m piecing together how a 10% hike in max temperature boosts net work per cycle by 10%, while keeping pressure ratios and volumes steady.

Thought for 34 seconds

Ответ

Для решения задачи рассмотрим исходный и изменённый циклы термодинамической машины.

Исходный цикл

Цикл состоит из следующих этапов:

Изобарное расширение (1-2):
- Давление $P_{\text{высок}}$
- Объём увеличивается с $V_{\text{мин}}$ до $V_{\text{макс}}$
Изохорное охлаждение (2-3):
- Объём остаётся $V_{\text{макс}}$
- Температура снижается до $T_{\text{мин}}$
Изобарное сжатие (3-4):
- Давление $P_{\text{низкий}}$ (в два раза меньше $P_{\text{высок}}$ )
- Объём уменьшается с $V_{\text{макс}}$ до $V_{\text{мин}}$
Изохорное нагревание (4-1):
- Объём остаётся $V_{\text{мин}}$
- Температура возвращается к $T_{\text{мин}}$

Отношения параметров:

Из изобарного расширения и сжатия: $P_{\text{высок}} = 2 P_{\text{низкий}}$
Из закона идеального газа: $P_{\text{высок}} V_{\text{мин}} = n R T_{\text{мин}}$ $P_{\text{низкий}} V_{\text{макс}} = n R T_{\text{мин}}$
Поскольку $V_{\text{макс}} = 2 V_{\text{мин}}$ , работа за цикл: $W_{\text{исх}} = (P_{\text{высок}} - P_{\text{низкий}})(V_{\text{макс}} - V_{\text{мин}}) = P_{\text{низкий}} (V_{\text{макс}} - V_{\text{мин}}) = P_{\text{низкий}} V_{\text{мин}}$

Изменённый цикл

Условия изменений:

Максимальная температура увеличивается на 10%: $T'_{\text{макс}} = 1.1 T_{\text{макс}}$
Минимальная температура, максимальный и минимальный объёмы остаются неизменными.

Новые параметры:

Из изобарного расширения: $P'_{\text{высок}} V_{\text{мин}} = n R T_{\text{мин}}$ $P'_{\text{высок}} V_{\text{макс}} = n R T'_{\text{макс}} = 1.1 n R T_{\text{макс}} = 1.1 P_{\text{высок}} V_{\text{мин}}$ Отсюда: $P'_{\text{высок}} = 1.1 P_{\text{высок}}$
Из изобарного сжатия: $P'_{\text{низкий}} V_{\text{макс}} = n R T_{\text{мин}}$ Поскольку $V_{\text{макс}}$ и $T_{\text{мин}}$ не изменяются: $P'_{\text{низкий}} = P_{\text{низкий}}$

Однако, для соблюдения закона идеального газа при новом максимуме температуры:

P'_{\text{низкий}} = \frac{P'_{\text{высок}} V_{\text{мин}}}{V_{\text{макс}}} = \frac{1.1 P_{\text{высок}} V_{\text{мин}}}{2 V_{\text{мин}}} = 0.55 P_{\text{высок}}

Но так как изначально $P_{\text{высок}} = 2 P_{\text{низкий}}$ , получаем:

P'_{\text{низкий}} = 0.55 \times 2 P_{\text{низкий}} = 1.1 P_{\text{низкий}}

Новая работа за цикл:

W' = (P'_{\text{высок}} - P'_{\text{низкий}})(V_{\text{макс}} - V_{\text{мин}}) = (1.1 P_{\text{высок}} - 1.1 P_{\text{низкий}})(V_{\text{макс}} - V_{\text{мин}}) = 1.1 (P_{\text{высок}} - P_{\text{низкий}})(V_{\text{макс}} - V_{\text{мин}})

W' = 1.1 W_{\text{исх}}

Итог

Работа газа за цикл увеличится в 1.1 раза, то есть на 10%.

Ответ: Работа за цикл увеличится в 1,1 раза.

Вопрос

Температура нагревателя идеальной тепловой машины равна 400 "К", а холодильника - 300 "К". Как следует изменить температуру нагревателя, если величину работы, совершаемой машиной за цикл, требуется увеличить на 30%. При этом количество подведенной теплоты и температура холодильника не изменяются.

Мысль

Noticing potential inconsistency

I’m thinking about the task of increasing work while keeping heat input constant. This seems tricky since the increase in work might imply a need for more heat, which contradicts the constant input.

Understanding heat engine dynamics

I’m mapping out how increasing work demands a decrease in Q_C, which typically involves altering the temperature ratio. But here, both Q_H and Tc are constant.

Revisiting temperature relationship

Given the constant heat input and refrigerator temperature, I’m curious about adjusting the heater temperature to maintain the desired work output.

Adjusting heater temperature

I’m working through the heater temperature that will increase work by 30%. By maintaining constant inputs and using a Carnot engine model, I isolate Th' to adjust as needed.

Adjusting work parameters

I’m pinpointing the new heater temperature to boost work by 30%. Interestingly, increasing Th to around 444 K achieves this, showing a clear strategy for fine-tuning efficiency.

Mapping out changes

I’m thinking about the exact heater temperature increase needed to achieve a 30% work boost. After careful calculations, it appears an 11.11% rise to 444 K is necessary.

Verifying result

I’m confirming the heater temperature change needed to bump up work by 30%. The exact temperature is 444 K, ensuring the adjustment aligns with the required efficiency increase.

Confirming fixed values

I’m noting that with Q_H and Tc set, increasing work requires decreasing Th. This highlights flexibility in interpreting fixed values, leading me to adjust my approach as needed.

Thought for 7 seconds

Ответ

Для решения задачи воспользуемся основными понятиями термодинамики, применимыми к идеальной тепловой машине (Цикл Карно).

Дано:

Температура нагревателя (горячего резервуара): $T_h = 400 \, \text{К}$
Температура холодильника (холодного резервуара): $T_c = 300 \, \text{К}$
Неизменные параметры: количество подведённой теплоты ( $Q_h$ ) и температура холодильника ( $T_c$ ).

Требуется:

Увеличить работу машины ( $W$ ) на 30%, то есть $W' = 1.3W$ , при неизменных $Q_h$ и $T_c$ . Необходимо определить новую температуру нагревателя ( $T_h'$ ).

Основные формулы:

КПД Цикла Карно:
$\eta = 1 - \frac{T_c}{T_h}$
Работа цикла:
$W = \eta Q_h = Q_h \left(1 - \frac{T_c}{T_h}\right)$
Новая работа цикла:
$W' = 1.3W = 1.3 Q_h \left(1 - \frac{T_c}{T_h}\right)$
Связь новой работы с новой температурой нагревателя:
$W' = Q_h \left(1 - \frac{T_c}{T_h'}\right)$

Пошаговое решение:

Выразим новую эффективность ( $\eta'$ ):
$\eta' = \frac{W'}{Q_h} = 1.3 \left(1 - \frac{T_c}{T_h}\right)$
Подставим исходные значения:
$\eta = 1 - \frac{300}{400} = 0.25 \quad (25\%)$ $\eta' = 1.3 \times 0.25 = 0.325 \quad (32.5\%)$
Свяжем новую эффективность с новой температурой нагревателя:
$\eta' = 1 - \frac{T_c}{T_h'} \Rightarrow 0.325 = 1 - \frac{300}{T_h'}$
Решим уравнение относительно $T_h'$ :
$\frac{300}{T_h'} = 1 - 0.325 = 0.675$ $T_h' = \frac{300}{0.675} \approx 444.44 \, \text{К}$

Итог:

Чтобы увеличить работу тепловой машины на 30%, при неизменных количестве подведённой теплоты и температуре холодильника, необходимо увеличить температуру нагревателя до приблизительно 444 К.

Ответ: Необходимо повысить температуру нагревателя до примерно 444 К.

Вопрос

Теплоизолированный сосуд вместимостью V=22,4 "л" разделен тонкой непроницаемой проводящей теплоту перегородкой на две равные части. В первую половину сосуда вводят m_1=11,2 "г" азота при температуре t_1=20^@"C", во вторую - m_2=16,8 "г" азота при температуре t_2=15^@"C". Какие давления установятся в каждой части сосуда после выравнивания температур?

Мысль

Analyzing gas dynamics

Okay, let me see. The problem involves a heat-insulated container divided into equal volumes with impermeable partition walls, where gases achieve thermal equilibrium, maintaining distinct pressures across separate confined gas volumes.

Balancing energy dynamics

Ensuring thermal equilibrium in the insulated container means equal temperatures, but pressure changes arise due to constant moles and varying initial conditions.

Assessing final temperature

OK, let me see. By treating nitrogen as a diatomic ideal gas and focusing on translational and rotational modes, the final temperature can be determined from the internal energy per mole equation.

Crunching internal energy

I’m calculating the final temperature by equating initial and final internal energies for nitrogen, considering moles and initial temperatures, and simplifying to find T.

Crunching gas pressure

I'm using the ideal gas law to find the final pressure in each container half. By plugging in moles, final temperature, and volume, I will get pressure in final units.

Weighing gas dynamics

I'm considering that the final pressure ratios in each container might need to be expressed relative to initial conditions, as initial pressures and gas constants aren't provided.

Weighing initial assumptions

Using standard pressure as a benchmark is essential for calculating relative pressures in the gas system. It es the stage for calculating equilibrium pressures more accurately.

Crunching pressure numbers

Using the ideal gas law, I’m calculating relative pressures in the gas compartment, ensuring units and constants are accurate. This leads me to estimate P1 and P2 as 0.85 and 1.27 atm respectively.

Calculating equilibrium pressures

I'm digging into final pressures using the ideal gas law, ensuring accurate unit conversion and precise results. This leads to pressures around 0.85 atm and 1.27 atm.

Balancing accuracy

Ensuring unit conversion aligns with significant figures, I’m finding final pressures of approximately 0.85 atm and 1.27 atm. This approach threads the needle between precision and feasibility.

Pulling together

I’ve pinpointed the final pressures as 0.85 atm and 1.27 atm for the two gas compartments, using the ideal gas law and ensuring unit consistency.

Thought for 18 seconds

Ответ

Для определения давлений в каждой половине теплоизолированного сосуда после выравнивания температур воспользуемся законом идеального газа и принципами сохранения энергии.

Дано:

Общий объём сосуда: $V = 22{,}4 \, \text{л}$
Объём каждой половины: $V_1 = V_2 = \frac{V}{2} = 11{,}2 \, \text{л}$
Массы азота:
- Первая часть: $m_1 = 11{,}2 \, \text{г}$
- Вторая часть: $m_2 = 16{,}8 \, \text{г}$
Температуры:
- Первая часть: $t_1 = 20\,°\text{C} = 293{,}15 \, \text{К}$
- Вторая часть: $t_2 = 15\,°\text{C} = 288{,}15 \, \text{К}$

Шаг 1: Определение количества молей азота

Молярная масса азота ( $\text{N}_2$ ) составляет $M = 28 \, \text{г/моль}$ .

n_1 = \frac{m_1}{M} = \frac{11{,}2}{28} = 0{,}4 \, \text{моль}

n_2 = \frac{m_2}{M} = \frac{16{,}8}{28} = 0{,}6 \, \text{моль}

Шаг 2: Определение конечной температуры после выравнивания

Поскольку сосуд теплоизолирован, внутренняя энергия системы сохраняется. Для двухатомного идеального газа внутренняя энергия зависит только от температуры:

U = \frac{5}{2} n R T

Где $R = 0{,}0821 \, \text{л·атм/(моль·К)}$ .

Суммарная внутренняя энергия до и после выравнивания температур:

U_{\text{нач}} = \frac{5}{2} n_1 R T_1 + \frac{5}{2} n_2 R T_2

U_{\text{кон}} = \frac{5}{2} (n_1 + n_2) R T

Приравнивая:

\frac{5}{2} (n_1 + n_2) R T = \frac{5}{2} n_1 R T_1 + \frac{5}{2} n_2 R T_2

(n_1 + n_2) T = n_1 T_1 + n_2 T_2

T = \frac{n_1 T_1 + n_2 T_2}{n_1 + n_2} = \frac{0{,}4 \times 293{,}15 + 0{,}6 \times 288{,}15}{1{,}0} = \frac{117{,}26 + 172{,}89}{1{,}0} = 290{,}15 \, \text{К}

Шаг 3: Определение давлений в каждой части после выравнивания температур

Используем уравнение состояния идеального газа для каждой половины сосуда:

P = \frac{n R T}{V}

Для первой части:

P_1 = \frac{n_1 R T}{V_1} = \frac{0{,}4 \times 0{,}0821 \times 290{,}15}{11{,}2} \approx \frac{9{,}52}{11{,}2} \approx 0{,}85 \, \text{атм}

Для второй части:

P_2 = \frac{n_2 R T}{V_2} = \frac{0{,}6 \times 0{,}0821 \times 290{,}15}{11{,}2} \approx \frac{14{,}28}{11{,}2} \approx 1{,}27 \, \text{атм}

Итог:

После выравнивания температур давления в каждой половине сосуда будут составлять:

Первая часть: $P_1 \approx 0{,}85 \, \text{атм}$
Вторая часть: $P_2 \approx 1{,}27 \, \text{атм}$

Ответ: После выравнивания температур давление в первой части сосуда будет приблизительно 0,85 атм, а во второй 1,27 атм.

Вопрос

При изохорном нагревании водорода ("H"_2) его давление увеличилось от начального значения p_1=0,4*10^5 до конечного p_2=0,8*10^5. Какое количество теплоты Q было сообщено водороду? Газ находится в сосуде объёмом V=20 "дм"^3.

Мысль

Mapping out heat transfer

Starting with the ideal gas law, $pV = nRT$ , and considering $p_1$ and $p_2$ to identify the heat $Q$ during the isochoric heating of hydrogen gas.

Tracing temperature shift

I'm defining $\Delta T$ using the ideal gas law, connecting it to pressure changes, volume, and $C_v$ . This keeps the method focused on deriving $Q$ .

Estimating heat transfer

OK, let me see. Assuming $C_v$ for diatomic hydrogen is $\frac{5}{2}R$ , I’m calculating the heat transfer using the pressure difference and gas constants.

Figuring out the heat

OK, I’m estimating the heat $Q$ for hydrogen gas using $C_v$ , pressure differences, and volume, ensuring the computation is precise and in joules.

Thought for 7 seconds

Ответ

Для определения количества теплоты $Q$ , переданной водороду при изохорном (постоянный объём) нагревании, воспользуемся основными законами термодинамики и свойствами идеального газа.

Дано:

Начальное давление: $p_1 = 0{,}4 \times 10^5 \, \text{Па}$
Конечное давление: $p_2 = 0{,}8 \times 10^5 \, \text{Па}$
Объём сосуда: $V = 20 \, \text{дм}^3 = 0{,}02 \, \text{м}^3$
Газ: Водород ( $\text{H}_2$ ) — двуатомный идеальный газ

Шаг 1: Определение количества теплоты при изохорном процессе

При изохорном процессе количество теплоты, переданной газу, связано с изменением внутренней энергии системы:

Q = \Delta U = n C_V \Delta T

где:

$n$ — количество молей газа,
$C_V$ — молярная теплоемкость при постоянном объёме,
$\Delta T$ — изменение температуры.

Шаг 2: Связь через уравнение состояния идеального газа

Из уравнения состояния идеального газа $pV = nRT$ при постоянном объёме можно выразить изменение температуры:

\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \quad \Rightarrow \quad T_2 = T_1 \frac{p_2}{p_1}

Таким образом, изменение температуры:

\Delta T = T_2 - T_1 = T_1 \left( \frac{p_2}{p_1} - 1 \right)

Шаг 3: Выражение количества теплоты через давление и объём

Подставляя $\Delta T$ в выражение для $Q$ :

Q = n C_V \left( \frac{p_2}{p_1} - 1 \right) T_1

Но из уравнения состояния:

n R T_1 = p_1 V \quad \Rightarrow \quad n T_1 = \frac{p_1 V}{R}

Тогда:

Q = C_V \left( \frac{p_2}{p_1} - 1 \right) \frac{p_1 V}{R} = C_V \frac{(p_2 - p_1)V}{R}

Шаг 4: Определение $C_V$ для водорода

Водород ( $\text{H}_2$ ) — двуатомный идеальный газ. При стандартных условиях:

C_V = \frac{5}{2} R

где $R = 8{,}314 \, \text{Дж/(моль·К)}$ — универсальная газовая постоянная.

Шаг 5: Подстановка значений и вычисления

Подставляем значения в формулу для $Q$ :

Q = \frac{5}{2} R \times \frac{(p_2 - p_1)V}{R} = \frac{5}{2} (p_2 - p_1) V

Q = \frac{5}{2} \times (0{,}8 \times 10^5 \, \text{Па} - 0{,}4 \times 10^5 \, \text{Па}) \times 0{,}02 \, \text{м}^3

Q = \frac{5}{2} \times 0{,}4 \times 10^5 \times 0{,}02

Q = \frac{5}{2} \times 800 \, \text{Дж} = 2000 \, \text{Дж}

Итог:

Количество теплоты, переданное водороду при изохорном нагревании, составляет 2000 Дж.

Ответ: Количество теплоты, переданное водороду, равно 2000 Дж.

Вопрос

Мысль

Re-evaluating hydrogen gas dynamics

I'm examining the isochoric heating of hydrogen gas, noting the initial and final pressures, and the volume of $0.02 m^3$ .

Formulating heat change

OK, let me see. I’m deriving the heat change for isochoric heating of hydrogen gas, considering the ideal gas law and thermodynamic principles to express $Q$ in terms of pressure and volume.

Taking a closer look

I’m expressing $Q$ through pressure and volume changes, utilizing the ideal gas law and thermodynamic principles to isolate variables like $T1$ and $n$ .

Reassessing equations

I’m mapping out the heat change $Q$ for a diatomic gas, aiming to resolve confusion around pressure, volume, and temperature relationships to express $Q$ correctly.

Spotting the pattern

OK, let's confirm the previous solution by calculating $Q$ for isochoric heating of hydrogen gas, ensuring it matches the pressure and volume changes, validating the derived formula.

Reassessing the method

Seeking a detailed step-by-step solution to confirm the $Q$ value for isochoric heating of hydrogen gas, ensuring it aligns with the given pressures and volume.

Mapping out energy transfer

I’m confirming that for isochoric heating of hydrogen gas, the heat $Q$ is $\frac{5}{2} p1 V$ , leading to a 2000 J calculation based on the initial conditions.

Verifying energy transfer

OK, let's ensure the units and calculations are consistent. Using SI units, the heat transferred $Q$ is confirmed to be 2000 J for isochoric heating of hydrogen gas.

Thought for 11 seconds

Ответ

Дано:

Начальное давление: $p_1 = 0{,}4 \times 10^5 \, \text{Па}$
Конечное давление: $p_2 = 0{,}8 \times 10^5 \, \text{Па}$
Объём сосуда: $V = 20 \, \text{дм}^3 = 0{,}02 \, \text{м}^3$
Газ: Водород ( $\text{H}_2$ ) — двуатомный идеальный газ
Процесс: Изохорное нагревание (постоянный объём)

Шаг 1: Определение количества теплоты при изохорном процессе

Q = \Delta U = n C_V \Delta T

где:

$n$ — количество молей газа,
$C_V$ — молярная теплоёмкость при постоянном объёме,
$\Delta T$ — изменение температуры.

Для двуатомного идеального газа молярная теплоёмкость при постоянном объёме составляет:

C_V = \frac{5}{2} R

где $R = 8{,}314 \, \text{Дж/(моль·К)}$ — универсальная газовая постоянная.

Шаг 2: Связь между давлением и температурой

Из уравнения состояния идеального газа при постоянном объёме:

pV = nRT

Для начального состояния:

p_1 V = n R T_1 \quad \Rightarrow \quad n = \frac{p_1 V}{R T_1}

Для конечного состояния:

p_2 V = n R T_2

Отношение конечной и начальной температур:

\frac{T_2}{T_1} = \frac{p_2}{p_1} = \frac{0{,}8 \times 10^5}{0{,}4 \times 10^5} = 2 \quad \Rightarrow \quad T_2 = 2 T_1

Таким образом, изменение температуры:

\Delta T = T_2 - T_1 = T_1

Шаг 3: Выражение количества теплоты через давление и объём

Подставляем выражение для $\Delta T$ в формулу для $Q$ :

Q = C_V \cdot n \cdot \Delta T = \frac{5}{2} R \cdot \frac{p_1 V}{R T_1} \cdot T_1 = \frac{5}{2} p_1 V

Шаг 4: Подстановка численных значений и вычисление

Q = \frac{5}{2} \times 0{,}4 \times 10^5 \, \text{Па} \times 0{,}02 \, \text{м}^3

Q = \frac{5}{2} \times 0{,}4 \times 0{,}02 \times 10^5 \, \text{Дж}

Q = \frac{5}{2} \times 0{,}008 \times 10^5 \, \text{Дж}

Q = \frac{5}{2} \times 800 \, \text{Дж} = 2000 \, \text{Дж}

Итог:

Количество теплоты, переданное водороду при изохорном нагревании, составляет 2000 Дж.

Ответ: Передано водороду 2000 джоулей теплоты.

Вопрос

Мысль

Ответ

Вопрос

Мысль

Ответ

Исходный цикл

Изменённый цикл

Итог

Вопрос

Мысль

Ответ

Дано:

Требуется:

Основные формулы:

Пошаговое решение:

Итог:

Вопрос

Мысль

Ответ

Дано:

Шаг 1: Определение количества молей азота

Шаг 2: Определение конечной температуры после выравнивания

Шаг 3: Определение давлений в каждой части после выравнивания температур

Итог:

Вопрос

Мысль

Ответ

Дано:

Шаг 1: Определение количества теплоты при изохорном процессе

Шаг 2: Связь через уравнение состояния идеального газа

Шаг 3: Выражение количества теплоты через давление и объём

Шаг 4: Определение CVC_VCV​ для водорода

Шаг 5: Подстановка значений и вычисления

Итог:

Вопрос

Мысль

Ответ

Дано:

Шаг 1: Определение количества теплоты при изохорном процессе

Шаг 2: Связь между давлением и температурой

Шаг 3: Выражение количества теплоты через давление и объём

Шаг 4: Подстановка численных значений и вычисление

Итог:

Поделиться этим Q&A

Шаг 4: Определение $C_V$ для водорода