Функция F(x) = x²

Interpréter les expressions

Je suis en train de interpréter et de rendre le code LaTeX donné par l'utilisateur, qui pourrait correspondre à une fonction raide.

Visualiser et expliquer

Je suis en train de visualiser et d'expliquer l'équation en LaTeX, tout en maintenant la spécification de la fonction paramétrée fournie.

Interopérant les fonctions

Je suis en train de transformer et d'expliquer l'équation F(x) = x^2 pour 0 ≤ x ≤ 1, en anglais et en russe si nécessaire.

Éclaircir les concepts

Je décortique la fonction quadratique F(x) = x^2 sur l'intervalle [0,1], et j'envisage des explications supplémentaires pour clarifier les détails.

Réflexion pendant 6 secondes

Функция, которую вы предоставили, выглядит следующим образом:

$F(x) = x^2 \quad \text{для } 0 \leq x \leq 1$

Описание функции:

• Форма функции: Квадратичная функция.
• Область определения: $0 \leq x \leq 1$.
• Поведение функции:
  • В начале интервала ($x = 0$) значение функции равно 0.
  • В конце интервала ($x = 1$) значение функции равно 1.
  • Функция является возрастающей на всем интервале $[0, 1]$.

График функции:

График функции $F(x) = x^2$ на промежутке от 0 до 1 представляет собой параболу, начинаясь в точке (0,0) и заканчиваясь в точке (1,1).

Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется более подробное объяснение, пожалуйста, сообщите!

Considérant les intégrales

Je suis en train de comprendre l'intégration de f(t) = 2t de 0 à x, ce qui donne F(x) = x^2.

Calculant l'intégrale

Je suis en train d'intégrer f(t) = 2t de 0 à x, confirmant que F(x) = x^2, et je pense à la relation entre f(t) et F(x) en termes de la dérivée.

Réflexion pendant quelques secondes

Да, вы правильно вычислили функцию $F(x)$ как определённый интеграл функции $f(t) = 2t$ от 0 до $x$. Давайте рассмотрим этот процесс подробнее.

Дано:

$f(t) = 2t$

Необходимо найти:

$F(x) = \int_{0}^{x} 2t \, dt$

Шаги решения:

1. Вычисление неопределённого интеграла:

   $$\int 2t \, dt = t^2 + C$$

   Здесь $C$ — постоянная интегрирования.

2. Вычисление определённого интеграла от 0 до $x$:

   $$F(x) = \left[ t^2 \right]_{0}^{x} = x^2 - 0^2 = x^2$$

   Таким образом, константа $C$ отменяется при вычислении разности значений первообразной на границах интегрирования.

Итоговый результат:

Дополнительное пояснение:

Функция $F(x)$ является первообразной функции $f(t) = 2t$ на промежутке от 0 до 1. Это означает, что производная $F(x)$ равна $f(x)$:

Графическое представление:

График функции $F(x) = x^2$ на интервале $[0, 1]$ — это часть параболы, начинающаяся в точке (0, 0) и заканчивающаяся в точке (1, 1).

Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется более подробное объяснение, пожалуйста, сообщите!

Calculant l'intégrale

Je suis en train de vérifier l'intégrale de F(x) = 2∫0^x t dt et j'ai trouvé F(x) = x^2.

Validant et détaillant

Je suis en train de valider la formule de l'intégrale F(x) = 2∫0^x t dt et de vérifier les étapes détaillées pour garantir la précision.

Réflexion pendant quelques secondes

Да, ваш расчёт абсолютно верен. Давайте подробно рассмотрим каждый шаг вычисления функции $F(x)$:

Дано:

Необходимо найти:

Шаги решения:

1. Вычисление неопределённого интеграла:

   Начнём с интегрирования функции $t$:

   $$\int t \, dt = \frac{t^2}{2} + C$$

   Здесь $C$ — константа интегрирования.

2. Вычисление определённого интеграла от 0 до $x$:

   Подставляем пределы интегрирования в первообразную:

   $$\left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{x} = \frac{x^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{x^2}{2}$$

3. Умножение на коэффициент 2:

   Теперь умножим результат интегрирования на коэффициент 2:

   $$F(x) = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$$

Итоговый результат:

Дополнительные пояснения:

• Графическое представление:

  Функция $F(x) = x^2$ на промежутке от 0 до 1 представляет собой часть параболы, начинающуюся в точке (0, 0) и заканчивающуюся в точке (1, 1).

  \begin{tikzpicture} \begin{axis}[ axis lines = middle, xlabel = $x$, ylabel = {$F(x)$}, domain=0:1, samples=100, grid = both, ] \addplot [blue, thick] {x^2}; \end{axis} \end{tikzpicture}

• Проверка производной:

  Функция $F(x) = x^2$ является первообразной функции $f(t) = 2t$, что подтверждается вычислением производной:

  $$F'(x) = \frac{d}{dx} (x^2) = 2x = f(x)$$

Заключение:

Ваше вычисление правильно демонстрирует процесс интегрирования функции $f(t) = 2t$ и получение её первообразной $F(x) = x^2$. Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется более глубокое объяснение какого-либо шага, пожалуйста, дайте знать!