Нахождение q(3)

(\text{Faustf);} ) \text{Afrika; \text{dreiteilig;) \text{Augen;) (\text{Jogger klettert;} \text{dreieckige Hütten;}\

Dies zeigt, dass f und g quadratische Polynome sind und ihre Kombinationen p und q ebenfalls quadratisch sein müssen.

Machen mir Gedanken

Die quadratischen Terme von f(g(x)) und g(f(x)) müssen verschwinden, damit p(x) quadratisch bleibt, obwohl ihre üblichen Grade 4 sind.

Multiplikation und Subtraktion

Ich kombiniere und subtrahiere die Terme von f(g(x)) und g(f(x)), um p(x) zu erhalten. Die Koeffizienten der Terme x^4 und x^3 müssen null sein, da p(x) quadratisch bleibt.

Bestimmen der Variablen

1. Die Koeffizienten d und a sind gleich.
2. e ist gleich b.
3. c und f bleiben variabel.

Eingabe von Werten

Ich setze d = a und e = b ein, um die Terme zu bereinigen. Jetzt erkenne ich, dass 2 a^2 (f - c) der Koeffizient von x^2 in p(x) sein muss.

Eingesehene gemeinsamen Terme

Ich setze d = a und e = b, um die Terme zu bereinigen. Interessanterweise ergibt sich, dass der konstante Term a f^2 + b f + c - a c^2 - b c - f gleich p(0) = 10 ist.

Ansetzten von P(0) und Q(0)

Durch die Verwendung von p(0) und q(0) finde ich c als 5/2 und f als 1/2.

Überprüfen und validieren

Ok, ich schaue mir die Terme von p(x) an, insbesondere die quadratischen Koeffizienten. Sie zeigen an, dass c=5/2 und f=1/2 im Einklang mit der Bedingung c + f=3 stehen.

Einsetzen und lösen

Ich setze c=5/2 und f=1/2 in die Terme ein und finde die Gleichung -6a - 2b + 2 = 10. Eine weitere Gleichung wäre hilfreich, um a und b besser zu verstehen.

Werffentlich

Ich finde, dass a und b ohne weitere Bedingungen schwer zu bestimmen sind. Vielleicht hilft q(3), aber es scheint, dass p(x) quadratisch sein muss.

Gedanken für 14 Sekunden

Давайте разберёмся с задачей пошагово.

Дано:

• Два квадратных трёхчлена $f(x)$ и $g(x)$.
• $p(x) = f(g(x)) - g(f(x))$ также квадратный трёхчлен.
• $q(x) = f(x) + g(x)$ — квадратный трёхчлен.
• Известно:
  • $p(0) = 10$
  • $q(0) = 3$
  • $f(0) - g(0) = 2$

Необходимо найти:

• $q(3)$

Решение:

1. Запишем общие формы многочленов:

   $$f(x) = a x^2 + b x + c$$ $$g(x) = d x^2 + e x + f$$

2. Поскольку $q(x) = f(x) + g(x)$ также квадратный, получаем:

   $$q(x) = (a + d) x^2 + (b + e) x + (c + f)$$

   Это квадратный трёхчлен, значит $a + d \neq 0$.

3. Рассмотрим $p(x) = f(g(x)) - g(f(x))$: Обычно $f(g(x))$ и $g(f(x))$ будут иметь степень 4, но так как их разность квадратный трёхчлен, коэффициенты при $x^4$ и $x^3$ должны исчезнуть. Это приводит к условиям:

   $$d = a \quad \text{и} \quad e = b$$

4. Используя условия $q(0) = 3$ и $f(0) - g(0) = 2$:

   $$c + f = 3$$ $$c - f = 2$$

   Решая систему, получаем:

   $$c = \frac{5}{2}, \quad f = \frac{1}{2}$$

5. Теперь подставим эти значения в выражение для $p(0) = 10$:

   $$a \left(\frac{1}{2}\right)^2 + b \left(\frac{1}{2}\right) + \frac{5}{2} - a \left(\frac{5}{2}\right)^2 - b \left(\frac{5}{2}\right) - \frac{1}{2} = 10$$

   Упростив, получаем:

   $$-6a - 2b + 2 = 10 \quad \Rightarrow \quad 3a + b = -4$$

6. Найдём $q(3)$:

   $$q(3) = 2a \cdot 3^2 + 2b \cdot 3 + 3 = 18a + 6b + 3$$

   Из уравнения $3a + b = -4$, умножаем на 6:

   $$18a + 6b = -24$$

   Тогда:

   $$q(3) = -24 + 3 = -21$$

Ответ: $q(3) = -21$.