Вероятность сохранения гласных

Question

При наборе слова ОЛИМПИАДА в результате небрежности мог быть нарушен порядок букв.
Найдите вероятность того, что сохранится хотя бы порядок гласных (их позиции - необязательно).

Answer 1

To solve this problem, we first need to understand the constraints and then calculate the probability accordingly.

Understanding the Problem:

The word in question is ОЛИМПИАДА (OLYMPIADA), which contains 9 letters.
The letters include duplicates: А appears twice, and И appears twice.
Due to carelessness, any permutation of these letters is equally likely.
We are asked to find the probability that, in such a random permutation, the order of the vowels is preserved (positions of vowels are not fixed but their sequence must be in the original order).

Step 1: Calculate the Total Number of Permutations

Since the letters А and И are repeated, the total number of unique permutations is:

\text{Total permutations} = \frac{9!}{2! \times 2!} = \frac{362,880}{4} = 90,720

Step 2: Identify Vowels and Consonants

Vowels: О, И, И, А, А (total of 5 vowels)
Consonants: Л, М, П, Д (total of 4 consonants)

Step 3: Calculate the Number of Favorable Permutations

We need to count the permutations where the vowels appear in the order О, И, И, А, А, possibly interleaved with consonants.

Choosing Positions for Vowels:

The number of ways to choose positions for the 5 vowels out of 9 positions is:
$\text{Ways to choose positions for vowels} = \binom{9}{5} = 126$
Placing Vowels in Chosen Positions:

Since the vowels must preserve their order and identical letters are indistinguishable, there's only 1 way to place them.
Permuting the Consonants:

The consonants can be arranged in any order, so the number of ways is:
$\text{Ways to permute consonants} = 4! = 24$
Total Favorable Permutations:
$\text{Favorable permutations} = 126 \times 24 = 3,024$

Step 4: Calculate the Probability

\text{Probability} = \frac{\text{Favorable permutations}}{\text{Total permutations}} = \frac{3,024}{90,720}

Simplify the fraction:

\frac{3,024}{90,720} = \frac{3,024 \div 201.6}{90,720 \div 201.6} = \frac{15}{452} = \frac{5}{151} \approx \frac{2}{15}

So, the simplified probability is $\frac{2}{15}$ .

Answer:

$\boxed{\dfrac{2}{15}}$

Answer 2

Вот код на Python, который рассчитывает искомую вероятность:

python
import math
from fractions import Fraction

# Общее количество перестановок букв слова "ОЛИМПИАДА"
# Буквы А и И повторяются по 2 раза
total_permutations = math.factorial(9) // (math.factorial(2) * math.factorial(2))

# Количество способов выбрать позиции для гласных (5 гласных из 9 позиций)
vowel_positions = math.comb(9, 5)

# Гласные должны сохранять свой порядок, поэтому существует только 1 способ их расположить
# Согласные буквы (Л, М, П, Д) можно переставлять любым образом (4! способов)
consonant_permutations = math.factorial(4)

# Общее количество благоприятных перестановок
favorable_permutations = vowel_positions * consonant_permutations

# Расчет вероятности
probability = favorable_permutations / total_permutations

# Упрощение дроби до несократимой
probability_fraction = Fraction(favorable_permutations, total_permutations).limit_denominator()

print(f"Вероятность: {probability_fraction}")

Вывод программы:

Вероятность: 1/30

Этот код вычисляет вероятность того, что в случайной перестановке букв слова "ОЛИМПИАДА" порядок гласных останется сохраненным. Мы учитываем повторяющиеся буквы и используем комбинаторику для подсчета общего и благоприятного числа перестановок.

Вероятность сохранения гласных

Вопрос

Мысль

Ответ

Вопрос

Мысль

Ответ

Поделиться этим Q&A