5. 75. Как изменится определитель матрицы, если к ...

Пусть исходная матрица имеет столбцы

$$A=(C_1,C_2,\ldots,C_n),$$

а её определитель равен

$$D=\det(C_1,C_2,\ldots,C_n).$$

После преобразования столбцы становятся

$$C_1+C_n,\quad C_2+C_1,\quad C_3+C_2,\quad\ldots,\quad C_n+C_{n-1}.$$

Важно, что всё делается одновременно, то есть прибавляются именно исходные столбцы.

Новый определитель:

$$D'= \begin{vmatrix} C_1+C_n&C_2+C_1&C_3+C_2&\cdots&C_n+C_{n-1} \end{vmatrix}.$$

Используем только обычное свойство определителя:

если столбец является суммой двух столбцов, определитель можно разложить в сумму двух определителей.

Например,

$$\det(C_1+C_n,C_2,\ldots) = \det(C_1,C_2,\ldots)+ \det(C_n,C_2,\ldots).$$

Если раскрыть таким образом все скобки, получится много слагаемых. Но почти все из них равны нулю из-за одинаковых столбцов.

Посмотрим, какие вообще могут остаться.

Первый очевидный вариант — из каждой скобки взять «свой» столбец:

$$(C_1,C_2,C_3,\ldots,C_n).$$

Получаем исходный определитель:

$$D.$$

Второй вариант — из каждой скобки взять добавленный предыдущий столбец:

$$(C_n,C_1,C_2,\ldots,C_{n-1}).$$

А теперь ключевой момент: все остальные варианты дают два одинаковых столбца.

Например, если во втором месте мы выбрали $C_1$, то в первом месте нельзя выбирать $C_1$, иначе будут два $C_1$. Значит, в первом месте надо выбрать $C_n$.

Но тогда в последнем месте нельзя выбирать $C_n$, значит там приходится выбирать $C_{n-1}$. Тогда в предпоследнем приходится выбирать $C_{n-2}$, и так далее.

То есть если хотя бы где-то пошли по варианту «предыдущий столбец», это вынуждает нас выбрать

$$(C_n,C_1,C_2,\ldots,C_{n-1})$$

целиком.

Поэтому

$$D' = \det(C_1,C_2,\ldots,C_n) + \det(C_n,C_1,C_2,\ldots,C_{n-1}).$$

Теперь разбираемся со вторым определителем:

$$\det(C_n,C_1,C_2,\ldots,C_{n-1}).$$

Чтобы вернуть $C_n$ на последнее место, надо переставить его через $n-1$ столбцов:

$$(C_n,C_1,C_2,\ldots,C_{n-1}) \longrightarrow (C_1,C_2,\ldots,C_{n-1},C_n).$$

Каждая перестановка двух соседних столбцов меняет знак определителя. Значит,

$$\det(C_n,C_1,\ldots,C_{n-1}) = (-1)^{n-1}D.$$

Следовательно,

$$\boxed{D'=D+(-1)^{n-1}D}.$$

Теперь два случая.

Если $n$ нечётное, то $n-1$ чётное:

$$(-1)^{n-1}=1,$$

поэтому

$$\boxed{D'=2D}.$$

Если $n$ чётное, то $n-1$ нечётное:

$$(-1)^{n-1}=-1,$$

поэтому

$$\boxed{D'=0}.$$

Итого:

$$\boxed{ \begin{cases} 2D, & n\text{ нечётное},\\[2mm] 0, & n\text{ чётное}. \end{cases}}$$

То есть при нечётном порядке матрицы определитель удваивается, а при чётном становится равным нулю.