已知${f\left(\frac{2}{x}+1\right)=\lg x}$，求${f(x)}$．

由题意

$$f\left(\frac2x+1\right)=\lg x,$$

因为 $\lg x$ 有意义，所以 $x>0$。

令

$$t=\frac2x+1,$$

则

$$t-1=\frac2x\quad\Rightarrow\quad x=\frac2{t-1}.$$

代回原式：

$$f(t)=\lg\frac2{t-1}.$$

又因为 $x>0$，所以 $t>1$。因此把 $t$ 换成 $x$，得到

$$\boxed{f(x)=\lg\frac2{x-1}},\qquad \boxed{x>1}.$$