сделай пожалуйта задание

Рассмотрим предел:

$$\lim_{\substack{x\to 1\\ y\to 1}} \frac{2x+3y^2-xy+19x-23}{3x^2+2y^2-2xy-y-2}$$

Сначала проверим значение числителя и знаменателя в точке $(1,1)$:

$$2+3-1+19-23=0$$ $$3+2-2-1-2=0$$

Получаем неопределённость $\frac{0}{0}$, поэтому проверим предел по разным путям.

Пусть

$$x=1+h,\qquad y=1+k,$$

где $h\to 0,\ k\to 0$.

Тогда числитель:

$$2x+3y^2-xy+19x-23 = 20h+5k+3k^2-hk$$

Знаменатель:

$$3x^2+2y^2-2xy-y-2 = 4h+k+3h^2+2k^2-2hk$$

Теперь возьмём два пути.

1. Пусть $y=1$, то есть $k=0$.

Тогда

$$\frac{20h}{4h+3h^2} = \frac{20}{4+3h}$$

При $h\to 0$:

$$\frac{20}{4+3h}\to 5$$

2. Пусть $k=-4h$, то есть

$$y-1=-4(x-1)$$

или

$$y=5-4x$$

Тогда

$$20h+5(-4h)+3(-4h)^2-h(-4h)=52h^2$$

а знаменатель:

$$4h-4h+3h^2+2(-4h)^2-2h(-4h)=43h^2$$

Получаем:

$$\frac{52h^2}{43h^2}=\frac{52}{43}$$

То есть по одному пути предел равен $5$, а по другому пути равен

$$\frac{52}{43}$$

Так как

$$5\ne \frac{52}{43},$$

то общий предел не существует.

Ответ:

$$\boxed{\text{предел не существует}}$$

Да, можно, но лучше писать не $y=kx$, а

$$y-1=k(x-1),$$

потому что точка стремления $(1,1)$, а не $(0,0)$.

Пусть

$$x=1+t,\qquad y=1+kt,\qquad t\to 0.$$

Тогда:

$$\frac{2x+3y^2-xy+19x-23}{3x^2+2y^2-2xy-y-2} = \frac{(20+5k)t+(3k^2-k)t^2}{(4+k)t+(3+2k^2-2k)t^2}$$

Если $k\neq -4$, то можно сократить на $t$:

$$\lim_{t\to 0} \frac{20+5k+(3k^2-k)t}{4+k+(3+2k^2-2k)t} = \frac{20+5k}{4+k}=5.$$

То есть по обычным прямым получается $5$.

Но возьмём особый случай:

$$k=-4,$$

то есть

$$y-1=-4(x-1).$$

Тогда линейные части и в числителе, и в знаменателе зануляются:

$$\frac{(3\cdot 16+4)t^2}{(3+2\cdot 16+8)t^2} = \frac{52t^2}{43t^2} = \frac{52}{43}.$$

Получили:

$$5\neq \frac{52}{43}.$$

Значит,

$$\boxed{\text{предел не существует}}$$

Через фиксирование одной переменной можно показать, что, например, при $y=1$ предел равен $5$, но этого недостаточно для доказательства существования. А вот путь $y-1=-4(x-1)$ показывает, что общего предела нет.

Пусть

$$u=\frac{x^2-y^2}{2}, \qquad v=xy,$$

тогда

$$F=f(u,v).$$

Обозначим производные функции $f$:

$$f_u=\frac{\partial f}{\partial u},\qquad f_v=\frac{\partial f}{\partial v}.$$

1. Первый дифференциал

$$du=x\,dx-y\,dy,$$ $$dv=y\,dx+x\,dy.$$

Тогда

$$\boxed{dF=f_u(x\,dx-y\,dy)+f_v(y\,dx+x\,dy)}$$

---

2. Второй дифференциал

Формула:

$$d^2F=f_{uu}du^2+2f_{uv}du\,dv+f_{vv}dv^2+f_u\,d^2u+f_v\,d^2v.$$

Здесь

$$d^2u=dx^2-dy^2,$$ $$d^2v=2\,dx\,dy.$$

Значит,

$$\boxed{ d^2F= f_{uu}(x\,dx-y\,dy)^2 +2f_{uv}(x\,dx-y\,dy)(y\,dx+x\,dy) +f_{vv}(y\,dx+x\,dy)^2 +f_u(dx^2-dy^2) +2f_vdx\,dy }$$

---

3. Смешанная производная

Так как

$$d^2F=F_{xx}dx^2+2F_{xy}dx\,dy+F_{yy}dy^2,$$

то коэффициент при $dx\,dy$ делим на $2$.

Получаем:

$$\boxed{ \frac{\partial^2F}{\partial x\partial y} = -xyf_{uu}+(x^2-y^2)f_{uv}+xyf_{vv}+f_v }$$

Все производные $f_u, f_v, f_{uu}, f_{uv}, f_{vv}$ берутся в точке

$$\left(\frac{x^2-y^2}{2},\,xy\right).$$

Конечно. Распишем именно откуда берётся формула для второго дифференциала.

Дано:

$$F=f(u,v),$$

где

$$u=\frac{x^2-y^2}{2}, \qquad v=xy.$$

Первый дифференциал:

$$dF=f_u\,du+f_v\,dv.$$

Теперь берём ещё один дифференциал:

$$d^2F=d(dF)=d(f_u\,du+f_v\,dv).$$

Используем правило произведения:

$$d^2F=d(f_u\,du)+d(f_v\,dv).$$

То есть

$$d^2F=df_u\cdot du+f_u\,d^2u+df_v\cdot dv+f_v\,d^2v.$$

Теперь найдём $df_u$ и $df_v$. Так как $f_u$ тоже зависит от $u$ и $v$, то

$$df_u=f_{uu}\,du+f_{uv}\,dv,$$ $$df_v=f_{vu}\,du+f_{vv}\,dv.$$

Подставляем:

$$d^2F=(f_{uu}du+f_{uv}dv)du+f_u d^2u +(f_{vu}du+f_{vv}dv)dv+f_v d^2v.$$

Раскрываем скобки:

$$d^2F=f_{uu}du^2+f_{uv}du\,dv+f_{vu}du\,dv+f_{vv}dv^2 +f_u d^2u+f_v d^2v.$$

Так как обычно

$$f_{uv}=f_{vu},$$

то получаем:

$$\boxed{ d^2F=f_{uu}du^2+2f_{uv}du\,dv+f_{vv}dv^2 +f_u d^2u+f_v d^2v }$$

Теперь отдельно считаем $du,dv,d^2u,d^2v$.

$$u=\frac{x^2-y^2}{2}$$ $$du=x\,dx-y\,dy$$

Берём ещё раз дифференциал:

$$d^2u=d(x\,dx-y\,dy).$$

Так как $d(dx)=0$ и $d(dy)=0$, получаем:

$$d(x\,dx)=dx\cdot dx=dx^2,$$ $$d(y\,dy)=dy\cdot dy=dy^2.$$

Значит,

$$\boxed{d^2u=dx^2-dy^2}$$

Теперь

$$v=xy.$$

Тогда

$$dv=y\,dx+x\,dy.$$

Берём второй дифференциал:

$$d^2v=d(y\,dx+x\,dy).$$ $$d(y\,dx)=dy\,dx,$$ $$d(x\,dy)=dx\,dy.$$

Значит,

$$d^2v=dy\,dx+dx\,dy=2dx\,dy.$$

То есть

$$\boxed{d^2v=2dx\,dy}$$

Теперь всё подставляем в формулу:

$$\boxed{ d^2F= f_{uu}(x\,dx-y\,dy)^2 +2f_{uv}(x\,dx-y\,dy)(y\,dx+x\,dy) +f_{vv}(y\,dx+x\,dy)^2 +f_u(dx^2-dy^2) +2f_vdx\,dy }$$

Все производные $f$ берутся в точке

$$\left(\frac{x^2-y^2}{2},xy\right).$$

Да, именно так.

Во втором дифференциале записи вида

$$dx^2,\quad dy^2,\quad dx\,dy$$

не означают обычное возведение числа в квадрат. Это символические произведения дифференциалов:

$$dx^2=(dx)(dx),$$ $$dy^2=(dy)(dy),$$ $$dx\,dy=(dx)(dy).$$

Например,

$$du=x\,dx-y\,dy.$$

Тогда

$$du^2=(x\,dx-y\,dy)^2.$$

Раскрываем как обычный квадрат суммы:

$$du^2=x^2dx^2-2xy\,dx\,dy+y^2dy^2.$$

Точно так же

$$dv=y\,dx+x\,dy,$$

поэтому

$$dv^2=(y\,dx+x\,dy)^2 = y^2dx^2+2xy\,dx\,dy+x^2dy^2.$$

---

Отсюда же получается формула

$$d^2u=d(x\,dx-y\,dy).$$

По правилу произведения

$$d(x\,dx)=dx\cdot dx+x\,d(dx).$$

Но

$$d(dx)=0,$$

поэтому

$$d(x\,dx)=dx^2.$$

Аналогично

$$d(y\,dy)=dy^2.$$

Следовательно,

$$d^2u=dx^2-dy^2.$$

На экзамене обычно считается нормальным писать сразу:

$$d(x\,dx)=dx^2,\qquad d(y\,dy)=dy^2,$$

понимая, что $dx^2=(dx)^2$.

Это одна из тех вещей в теории дифференциалов, где обозначение выглядит как степень, но фактически означает произведение дифференциалов между собой.

Принцип Дирихле (или принцип ящиков и предметов) — один из самых простых и полезных методов в комбинаторике.

Формулировка

Если $n+1$ предмет разместить в $n$ ящиках, то хотя бы в одном ящике окажется не менее двух предметов.

Или проще:

Если предметов больше, чем ящиков, то какой-то ящик содержит минимум два предмета.

---

Пример 1

У тебя есть 13 человек.

Сколько среди них обязательно найдётся людей, родившихся в одном месяце?

Ящики — 12 месяцев.

Предметы — 13 человек.

Так как

$$13 > 12,$$

то по принципу Дирихле найдутся как минимум два человека, родившиеся в одном месяце.

---

Пример 2

В комнате 367 человек.

Доказать, что хотя бы у двух совпадает день рождения.

Ящики — 366 возможных дней года (с учётом 29 февраля).

Предметы — 367 человек.

$$367>366.$$

Следовательно, два человека имеют одинаковый день рождения.

---

Усиленный принцип Дирихле

Если $N$ предметов распределены по $n$ ящикам, то найдётся ящик, содержащий не менее

$$\left\lceil \frac{N}{n} \right\rceil$$

предметов.

Здесь $\lceil x\rceil$ — округление вверх.

---

Пример

100 студентов распределены по 9 группам.

$$\left\lceil \frac{100}{9}\right\rceil = \left\lceil 11.11\ldots\right\rceil = 12.$$

Значит, хотя бы в одной группе не меньше 12 студентов.

---

Классическая задача

Докажите, что среди любых 5 целых чисел найдутся два, разность которых делится на 4.

Решение.

При делении на 4 возможны остатки:

$$0,\;1,\;2,\;3.$$

Всего 4 варианта (ящика).

Чисел 5 (предметов).

По принципу Дирихле два числа имеют одинаковый остаток при делении на 4.

Тогда их разность делится на 4.

---

Геометрический пример

В квадрате со стороной 2 расположено 5 точек.

Доказать, что две из них находятся на расстоянии не более $\sqrt2$.

Разобьём квадрат на 4 маленьких квадрата со стороной 1.

Получили 4 ящика и 5 точек.

По принципу Дирихле в одном маленьком квадрате окажутся хотя бы две точки.

Максимальное расстояние внутри такого квадрата равно его диагонали:

$$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2.$$

Следовательно, найдутся две точки на расстоянии не более $\sqrt2$.

---

Как распознавать задачи на принцип Дирихле

Обычно в условии встречаются слова:

• доказать, что найдутся два объекта с одинаковым свойством;
• доказать, что хотя бы один объект имеет много элементов;
• доказать существование;
• распределение по группам, остаткам, клеткам, месяцам, дням и т.д.

Тогда стоит искать:

1. Что будет «предметами»?
2. Что будет «ящиками»?
3. Предметов больше, чем ящиков?

Если да — вероятно, работает принцип Дирихле.