Реши

Решение.

Во 2а в условии, по-видимому, опечатка: вместо $ABC_1$ должно быть $A_1BC_1$, потому что точки $A,B,C_1$ лежат на одной прямой и «треугольник $ABC_1$» вырожден. Ниже решаю в естественной формулировке.

---

1.

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность, причем

$$AB=CD=3,\qquad BC=DE=4.$$

а) Доказать, что $AC=CE$

В одной и той же окружности равные хорды стягивают равные дуги. Поэтому

• из $AB=CD$ следует, что дуги $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$;
• из $BC=DE$ следует, что дуги $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DE}$.

Тогда

$$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC} =\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DE} =\overset{\frown}{CE}.$$

Равные дуги стягиваются равными хордами, значит

$$AC=CE.$$

---

б) Найти $BE$, если $AD=6$

Обозначим

$$AC=CE=x.$$

Рассмотрим вписанный четырехугольник $ABCD$. По теореме Птолемея:

$$AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD.$$

Подставим данные:

$$x\cdot BD=3\cdot3+4\cdot6=9+24=33.$$

Итак,

$$x\cdot BD=33. \qquad (1)$$

Теперь рассмотрим вписанный четырехугольник $BCDE$. Снова по Птолемею:

$$BD\cdot CE=BC\cdot DE+CD\cdot BE.$$

Подставляем:

$$BD\cdot x=4\cdot4+3\cdot BE=16+3BE.$$

То есть

$$x\cdot BD=16+3BE. \qquad (2)$$

Из (1) и (2):

$$33=16+3BE,$$ $$3BE=17,$$ $$\boxed{BE=\frac{17}{3}}.$$

---

2.

На серединах сторон $AB,BC,AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки

$$C_1,\ A_1,\ B_1$$

соответственно.

---

а) Доказать, что окружность, описанная около $AB_1C_1$, проходит через вторую точку пересечения окружностей треугольников $A_1B_1C$ и $A_1BC_1$

Обозначим через $X$ вторую точку пересечения окружностей

$$(A_1B_1C)\quad \text{и}\quad (A_1BC_1),$$

отличную от $A_1$.

Нужно доказать, что точки $A,B_1,C_1,X$ лежат на одной окружности.

Так как $X\in (A_1B_1C)$, то

$$\angle B_1XA_1=\angle B_1CA_1.$$

Но

$$CB_1\parallel CA,\qquad CA_1\parallel CB,$$

значит

$$\angle B_1CA_1=\angle ACB.$$

Следовательно,

$$\angle B_1XA_1=\angle ACB. \qquad (3)$$

Так как $X\in (A_1BC_1)$, то

$$\angle A_1XC_1=\angle A_1BC_1.$$

Но

$$BA_1\parallel BC,\qquad BC_1\parallel BA,$$

поэтому

$$\angle A_1BC_1=\angle CBA.$$

Значит

$$\angle A_1XC_1=\angle CBA. \qquad (4)$$

Сложим (3) и (4):

$$\angle B_1XC_1 =\angle B_1XA_1+\angle A_1XC_1 =\angle ACB+\angle CBA =180^\circ-\angle BAC.$$

Но

$$\angle B_1AC_1=\angle BAC,$$

так как $AB_1\subset AC$, $AC_1\subset AB$.

Итак,

$$\angle B_1XC_1+\angle B_1AC_1=180^\circ.$$

Следовательно, четырехугольник $AB_1XC_1$ вписанный.

Значит, $X$ лежит на окружности, описанной около треугольника $AB_1C_1$. Что и требовалось доказать.

---

б) Найти радиус окружности, описанной около треугольника с вершинами в центрах вписанных окружностей треугольников $AB_1C_1,\ A_1B_1C,\ A_1BC_1$, если

$$AB=AC=10,\qquad BC=16.$$

Так как $AB=AC=10$, $BC=16$, высота к основанию:

$$h=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=6.$$

Удобно взять координаты:

$$B(-8,0),\quad C(8,0),\quad A(0,6).$$

Тогда середины сторон:

$$A_1(0,0),\quad B_1(4,3),\quad C_1(-4,3).$$

Обозначим через $I_1,I_2,I_3$ центры вписанных окружностей треугольников

$$AB_1C_1,\quad A_1B_1C,\quad A_1BC_1$$

соответственно.

---

1) Треугольник $AB_1C_1$

Его стороны:

$$AB_1=AC_1=5,\qquad B_1C_1=8.$$

Это равнобедренный треугольник $5,5,8$. Его высота:

$$\sqrt{5^2-4^2}=3,$$

площадь:

$$S=\frac12\cdot 8\cdot 3=12,$$

полупериметр:

$$p=\frac{5+5+8}{2}=9.$$

Значит, радиус вписанной окружности:

$$r=\frac{S}{p}=\frac{12}{9}=\frac43.$$

Поскольку основание $B_1C_1$ лежит на прямой $y=3$, вершина $A=(0,6)$, центр вписанной окружности лежит на оси симметрии $x=0$ на расстоянии $\frac43$ от прямой $y=3$, то

$$I_1=\left(0,\,3+\frac43\right)=\left(0,\frac{13}{3}\right).$$

2) Треугольник $A_1B_1C$

Это тоже треугольник со сторонами

$$A_1B_1=5,\quad B_1C=5,\quad A_1C=8,$$

то есть снова $5,5,8$. Его основание лежит на оси $Ox$, значит

$$I_2=\left(4,\frac43\right).$$

3) Треугольник $A_1BC_1$

По симметрии

$$I_3=\left(-4,\frac43\right).$$

---

Теперь найдем стороны треугольника $I_1I_2I_3$:

$$I_2I_3=8,$$ $$I_1I_2=\sqrt{(4-0)^2+\left(\frac43-\frac{13}{3}\right)^2} =\sqrt{16+(-3)^2} =5,$$

аналогично

$$I_1I_3=5.$$

Следовательно, треугольник $I_1I_2I_3$ снова имеет стороны $5,5,8$.

Его площадь равна

$$S=\frac12\cdot 8\cdot 3=12.$$

Тогда радиус описанной окружности:

$$R=\frac{abc}{4S} =\frac{5\cdot 5\cdot 8}{4\cdot 12} =\frac{200}{48} =\frac{25}{6}.$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{25}{6}}.$$

---

Ответы

1а) $\boxed{AC=CE}$

1б) $\boxed{BE=\dfrac{17}{3}}$

2б) $\boxed{R=\dfrac{25}{6}}$

Если хочешь, я могу ещё оформить это как аккуратное “школьное” решение для переписывания в тетрадь.