logoChat01.ai

Реши подробно объясняя теорию

생성일: 2025년 12월 24일

답변에 사용된 모델 GPT-5.2 Thinking by Chat01

질문

IMG_8167.jpegIMG_8167.jpeg
IMG_8166.jpegIMG_8166.jpeg

Реши подробно объясняя теорию

질문

IMG_8167.jpegIMG_8167.jpeg
IMG_8166.jpegIMG_8166.jpeg

Реши подробно объясняя теорию

Python

python
from PIL import Image, ImageEnhance
img1 = Image.open('/mnt/data/IMG_8167.jpeg')
img2 = Image.open('/mnt/data/IMG_8166.jpeg')
img2r = img2.rotate(90, expand=True) # rotate to upright?
img2r.size, img1.size


((960, 1280), (960, 1280))

Python

python
import matplotlib.pyplot as plt, numpy as np
plt.figure(figsize=(8,10))
plt.imshow(img2r)
plt.axis('off')
plt.show()

Python

python
img2u = img2r.rotate(180, expand=True)
plt.figure(figsize=(8,10))
plt.imshow(img2u); plt.axis('off'); plt.show()

Python

python
plt.figure(figsize=(8,10))
plt.imshow(img1); plt.axis('off'); plt.show()

Python

python
import numpy as np, matplotlib.pyplot as plt
def show_crop(img, box, figsize=(8,6)):
    crop = img.crop(box)
    plt.figure(figsize=figsize)
    plt.imshow(crop)
    plt.axis('off')
    plt.show()
# crop central area where tasks are
show_crop(img1, (80,120,880,1120), figsize=(8,10))

Python

python
show_crop(img1, (400,430,870,650), figsize=(9,4))

Python

python
show_crop(img1, (350,330,840,470), figsize=(9,4))

Python

python
show_crop(img1, (250,520,800,760), figsize=(9,6))

Python

python
show_crop(img1, (240,470,820,575), figsize=(10,4))

Python

python
show_crop(img2u, (90,130,880,1120), figsize=(8,10))

Python

python
show_crop(img2u, (350,560,750,660), figsize=(9,3))

Python

python
show_crop(img2u, (250,670,800,770), figsize=(10,4))

Python

python
show_crop(img2u, (250,760,830,850), figsize=(10,4))

Python

python
import sympy as sp
x,y=sp.symbols('x y', real=True)
u1=(x**3-3*x*y**2)/(1+x**2+y**2)**2
v1=(3*x**2*y-y**3)/(1+x**2+y**2)**2
ux=sp.diff(u1,x); uy=sp.diff(u1,y); vx=sp.diff(v1,x); vy=sp.diff(v1,y)
sp.simplify(ux-vy), sp.simplify(uy+vx)


(4*(-x**2*(x**2 - 3*y**2) + y**2*(3*x**2 - y**2))/(x**2 + y**2 + 1)**3,
 16*x*y*(-x**2 + y**2)/(x**2 + y**2 + 1)**3)

Python

python
num1=sp.simplify(-x**2*(x**2 - 3*y**2) + y**2*(3*x**2 - y**2))
sp.factor(num1)


-(x**2 - 2*x*y - y**2)*(x**2 + 2*x*y - y**2)

Python

python
sol=sp.solve([sp.Eq(num1,0), sp.Eq(x*y*(y**2-x**2),0)], [x,y], dict=True)
sol[:10], len(sol)


([{x: 0, y: 0}], 1)

Python

python
u2=(x**3-3*x*y**2)/(1+x**2+y**2)**3
v2=(3*x**2*y-y**3)/(1+x**2+y**2)**3
ux2=sp.diff(u2,x); uy2=sp.diff(u2,y); vx2=sp.diff(v2,x); vy2=sp.diff(v2,y)
eq1=sp.simplify(ux2-vy2); eq2=sp.simplify(uy2+vx2)
sp.factor(sp.simplify(eq1*(1+x**2+y**2)**4)), sp.factor(sp.simplify(eq2*(1+x**2+y**2)**4))


(-6*(x**2 - 2*x*y - y**2)*(x**2 + 2*x*y - y**2), -24*x*y*(x - y)*(x + y))

Python

python
sol2=sp.solve([sp.Eq((x**2-2*x*y-y**2)*(x**2+2*x*y-y**2),0), sp.Eq(x*y*(x-y)*(x+y),0)], [x,y], dict=True)
sol2


[{x: 0, y: 0}]

Python

python
u = sp.exp(x)*((1+y)*sp.cos(y)+y*sp.sin(y))
ux = sp.diff(u,x)
uy = sp.diff(u,y)
sp.simplify(ux), sp.simplify(uy)


((y*sin(y) + (y + 1)*cos(y))*exp(x), (sqrt(2)*y*cos(y + pi/4) + cos(y))*exp(x))

Python

python
lap=sp.simplify(sp.diff(u,x,2)+sp.diff(u,y,2))
sp.factor(lap)


2*sqrt(2)*exp(x)*cos(y + pi/4)

Python

python
u_alt=sp.exp(x)*((1-y)*sp.cos(y)+y*sp.sin(y))
sp.factor(sp.diff(u_alt,x,2)+sp.diff(u_alt,y,2))


2*(sin(y) + cos(y))*exp(x)

Python

python
show_crop(img1, (80,160,900,290), figsize=(12,3))

Python

python
u_test=sp.exp(x)*((1+y)*sp.cos(y)+x*sp.sin(y))
sp.simplify(sp.diff(u_test,x,2)+sp.diff(u_test,y,2))


0

Python

python
# zoom around the u formula in problem2 for variant1
show_crop(img1, (250,175,820,235), figsize=(12,3))

Python

python
u = u_test
ux=sp.diff(u,x); uy=sp.diff(u,y)
sp.simplify(ux), sp.simplify(uy)


((x*sin(y) + (y + 1)*cos(y) + sin(y))*exp(x),
 (x*cos(y) - (y + 1)*sin(y) + cos(y))*exp(x))

Python

python
z=sp.Symbol('z')
f4 = sp.exp(z)*(z**2+1)/((z-1)**2*(z+2))
series_f4 = sp.series(f4, z, 1, 2) # up to (z-1)^1? hmm series order includes terms to (z-1)^1? use 2 means up to (z-1)^1 maybe.
series_f4


2*E/(3*(z - 1)**2) + 10*E/(9*(z - 1)) + 26*E/27 + 37*E*(z - 1)/81 + O((z - 1)**2, (z, 1))

Python

python
f4b = sp.exp(2*z)*(z**2+z+2)/((z-1)**2*(z+3))
sp.series(f4b, z, 1, 2)


exp(2)/(z - 1)**2 + 5*exp(2)/(2*(z - 1)) + 25*exp(2)/8 + 245*(z - 1)*exp(2)/96 + O((z - 1)**2, (z, 1))

Python

python
g5 = (sp.log(1+z))**2 / z**3
sp.series(g5, z, 0, 3) # terms up to z^(-?) Actually series around 0. order 3 includes terms up to z^2? hmm.


1/z - 1 + 11*z/12 - 5*z**2/6 + O(z**3)

Python

python
g5b = (sp.log(1-z))**2 / z**3
sp.series(g5b, z, 0, 3)


1/z + 1 + 11*z/12 + 5*z**2/6 + O(z**3)

Python

python
h1 = (2*z**2+3*z-1)/(z*(z-1))
sp.apart(h1, z)


2 + 4/(z - 1) + 1/z

Python

python
h2 = (z**2-4*z+3)/(z*(z+1))
sp.apart(h2, z)


1 - 8/(z + 1) + 3/z

Python

python
g = sp.exp(z)/(z+2)
g2 = sp.diff(g,z,2)
sp.simplify(g2.subs(z,1))


5*E/27

Python

python
f8b = sp.exp(z)/((z+1)**2 * z**3)
res0 = sp.residue(f8b, z, 0)
resm1 = sp.residue(f8b, z, -1)
res0, resm1, sp.simplify(res0+resm1)


(3/2, -4*exp(-1), 3/2 - 4*exp(-1))

Python

python
s=sp.Symbol('s', positive=True)
F = s/(s**2+4)
expr = sp.diff(F,s,2)
sp.simplify(expr)


2*s*(s**2 - 12)/(s**2 + 4)**3

Python

python
F3=s/(s**2+9)
sp.simplify(sp.diff(F3,s,2))


2*s*(s**2 - 27)/(s**2 + 9)**3

Python

python
show_crop(img2u, (140,240,860,310), figsize=(12,3))

Python

python
show_crop(img2u, (80,310,880,385), figsize=(12,3))

사고

Addressing possible typo in the problem

It looks like there's a typo with ysin⁡(y)y \sin(y), but the correct expression is likely xsin⁡(y)x \sin(y). The user's request might not require uu to be the real part of a globally holomorphic function, but CR equations imply uu must be harmonic. If uu doesn't satisfy the PDE, there's no solution. I'll explain this and proceed with the corrected version xsin⁡(y)x \sin(y).

Thought for 9m 12s

답변

Ниже решены оба варианта (они почти одинаковые). Я буду по каждому пункту сначала напоминать нужную теорию, потом считать.

Общие факты (которые будем использовать)

  1. Уравнения Коши–Римана (К–Р).
    Если f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iyz=x+iy, то в точке, где ff комплексно дифференцируема,
ux=vy,uy=−vx.u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x.

Если u,vu,v имеют непрерывные частные производные в окрестности и К–Р выполнены в окрестности, то ff голоморфна.

  1. Гармоничность.
    Если ff голоморфна, то uu и vv гармоничны:
Δu=uxx+uyy=0,Δv=0.\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0,\qquad \Delta v=0.

В односвязной области: если uu гармонична, то существует (с точностью до константы) гармоническая сопряжённая vv.

  1. Главная ветвь логарифма.
\Logz=ln⁡∣z∣+i\Argz,\Argz∈(−π,π].\Log z=\ln|z|+i\Arg z,\qquad \Arg z\in(-\pi,\pi].
  1. Ряд Лорана и вычет.
    Если
f(z)=∑k=−m∞ak(z−z0)k,f(z)=\sum_{k=-m}^{\infty} a_k (z-z_0)^k,

то Res⁡z=z0f=a−1\operatorname{Res}_{z=z_0} f=a_{-1}.
Полюс порядка mm ⇔ есть конечная главная часть до (z−z0)−m(z-z_0)^{-m}.

  1. Вычет в бесконечности.
Res⁡z=∞f=−∑zk∈CRes⁡z=zkf.\operatorname{Res}_{z=\infty} f = -\sum_{z_k\in\mathbb C}\operatorname{Res}_{z=z_k} f.
  1. Теорема о вычетах.
∮γf(z) dz=2πi∑Res⁡f(по полюсам внутри γ).\oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum \operatorname{Res} f \quad (\text{по полюсам внутри } \gamma).
  1. Формула Коши для производных.
∮∣z−z0∣=Rg(z)(z−z0)n+1 dz=2πin! g(n)(z0),\oint_{|z-z_0|=R}\frac{g(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz=\frac{2\pi i}{n!}\,g^{(n)}(z_0),

если gg аналитична внутри окружности.

  1. Лаплас.
L{cos⁡(at)}(s)=ss2+a2,L{tnf(t)}(s)=(−1)ndndsnL{f(t)}(s).\mathcal L\{\cos(at)\}(s)=\frac{s}{s^2+a^2},\qquad \mathcal L\{t^n f(t)\}(s)=(-1)^n\frac{d^n}{ds^n}\mathcal L\{f(t)\}(s).

Вариант 1

1) Проверка К–Р для

u=x3−3xy2(1+x2+y2)2,v=3x2y−y3(1+x2+y2)2.u=\frac{x^3-3xy^2}{(1+x^2+y^2)^2},\qquad v=\frac{3x^2y-y^3}{(1+x^2+y^2)^2}.

Замечание: x3−3xy2=ℜ(z3)x^3-3xy^2=\Re(z^3), 3x2y−y3=ℑ(z3)3x^2y-y^3=\Im(z^3). Значит

f(z)=u+iv=z3(1+x2+y2)2=z3(1+∣z∣2)2,f(z)=u+iv=\frac{z^3}{(1+x^2+y^2)^2}=\frac{z^3}{(1+|z|^2)^2},

а ∣z∣2=zzˉ |z|^2=z\bar z зависит от zˉ\bar z ⇒ в окрестности обычно не голоморфна.

Проверка К–Р даёт, что система ux=vy, uy=−vxu_x=v_y,\ u_y=-v_x выполняется только в точке (0,0)(0,0).

Теперь проверим комплексную производную в нуле по определению:

f′(0)=lim⁡z→0f(z)−f(0)z=lim⁡z→0z3(1+∣z∣2)2⋅1z=lim⁡z→0z2(1+∣z∣2)2=0.f'(0)=\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-f(0)}{z} =\lim_{z\to 0}\frac{z^3}{(1+|z|^2)^2}\cdot\frac1z =\lim_{z\to 0}\frac{z^2}{(1+|z|^2)^2}=0.

Предел существует и равен 0.

Итог:

  • ff комплексно дифференцируема только в точке z=0z=0, и f′(0)=0f'(0)=0.
  • В окрестности любой точки (включая 0) К–Р не выполнены всюду ⇒ ff не голоморфна ни в какой области.
  • Конформности нет: для конформности нужно ff голоморфна в окрестности и f′(z0)≠0f'(z_0)\neq 0; здесь даже в нуле f′(0)=0f'(0)=0.

2) Найти v(x,y)v(x,y), чтобы f=u+ivf=u+iv была голоморфна, v(0,0)=0v(0,0)=0

На фото написано u=ex((1+y)cos⁡y+  ysin⁡y)u=e^x((1+y)\cos y+\;y\sin y).
⚠️ Но тогда uu не гармонична (uxx+uyy≠0u_{xx}+u_{yy}\neq 0), а значит такого vv не существует.

Обычно в таких задачах правильный вид (который делает uu гармоничной) — это

u=ex((1+y)cos⁡y+xsin⁡y).u=e^x\big((1+y)\cos y+x\sin y\big).

Дальше решаю для этого корректного (стандартного) варианта.

По К–Р:

vy=ux,vx=−uy.v_y=u_x,\qquad v_x=-u_y.

Считаем uxu_x:

ux=ex((1+y)cos⁡y+xsin⁡y+sin⁡y).u_x=e^x\big((1+y)\cos y+x\sin y+\sin y\big).

Интегрируем по yy:

v=ex∫((1+y)cos⁡y+xsin⁡y+sin⁡y) dy+φ(x).v=e^x\int\Big((1+y)\cos y+x\sin y+\sin y\Big)\,dy+\varphi(x). ∫(1+y)cos⁡y dy=sin⁡y+ysin⁡y+cos⁡y,∫xsin⁡y dy=−xcos⁡y,∫sin⁡y dy=−cos⁡y.\int (1+y)\cos y\,dy=\sin y+y\sin y+\cos y,\quad \int x\sin y\,dy=-x\cos y,\quad \int \sin y\,dy=-\cos y.

Сумма: −xcos⁡y+(1+y)sin⁡y-x\cos y+(1+y)\sin y. Значит

v=ex(−(xcos⁡y)+(1+y)sin⁡y)+φ(x).v=e^x\big(-(x\cos y)+(1+y)\sin y\big)+\varphi(x).

Второе уравнение К–Р даёт φ′(x)=0⇒φ=const\varphi'(x)=0\Rightarrow \varphi=\text{const}.
Условие v(0,0)=0v(0,0)=0 ⇒ константа 00.

Ответ:

 v(x,y)=ex((1+y)sin⁡y−xcos⁡y) .\boxed{\,v(x,y)=e^x\big((1+y)\sin y-x\cos y\big)\, }.

3) Главная ветвь \Log\Log: \Log(i),\Log(−i),\Log(−1+i)\Log(i),\Log(-i),\Log(-1+i)

\Logz=ln⁡∣z∣+i\Argz,\Arg∈(−π,π].\Log z=\ln|z|+i\Arg z,\quad \Arg\in(-\pi,\pi].
  • i: ∣i∣=1, \Arg(i)=π2⇒\Log(i)=iπ2.i:\ |i|=1,\ \Arg(i)=\frac\pi2\Rightarrow \Log(i)=i\frac\pi2.
  • −i: ∣−i∣=1, \Arg(−i)=−π2⇒\Log(−i)=−iπ2.-i:\ |{-i}|=1,\ \Arg(-i)=-\frac\pi2\Rightarrow \Log(-i)=-i\frac\pi2.
  • −1+i: ∣−1+i∣=2, \Arg=3π4⇒-1+i:\ |{-1+i}|=\sqrt2,\ \Arg=\frac{3\pi}{4}\Rightarrow
\Log(−1+i)=ln⁡2+i3π4=12ln⁡2+i3π4.\Log(-1+i)=\ln\sqrt2+i\frac{3\pi}{4}=\frac12\ln 2+i\frac{3\pi}{4}.

4) Ряд Лорана около z=1z=1 для

f(z)=ez(z2+1)(z−1)2(z+2).f(z)=\frac{e^z(z^2+1)}{(z-1)^2(z+2)}.

В точке z=1z=1 — полюс 2-го порядка.

Пишем z=1+wz=1+w. Тогда

f=e1+w((1+w)2+1)w2(3+w)=e ew(2+2w+w2)w2(3+w).f=\frac{e^{1+w}\big((1+w)^2+1\big)}{w^2(3+w)} =\frac{e\,e^w(2+2w+w^2)}{w^2(3+w)}.

Разложим ew=1+w+w22+⋯e^w=1+w+\frac{w^2}{2}+\cdots, 13+w=13(1−w3+w29+⋯ )\frac1{3+w}=\frac13\left(1-\frac{w}{3}+\frac{w^2}{9}+\cdots\right) и перемножим до нужного порядка (до w1w^1 в регулярной части).

Получается:

  f(z)=2e3(z−1)2+10e9(z−1)+26e27+37e81(z−1)+⋯  \boxed{\; f(z)=\frac{2e}{3(z-1)^2}+\frac{10e}{9(z-1)}+\frac{26e}{27}+\frac{37e}{81}(z-1)+\cdots \;}

Отсюда

Res⁡z=1f=10e9.\boxed{\operatorname{Res}_{z=1} f=\frac{10e}{9}}.

5) Лоран около 00 для

g(z)=(log⁡(1+z))2z3.g(z)=\frac{\big(\log(1+z)\big)^2}{z^3}.

Ряд:

log⁡(1+z)=z−z22+z33−⋯\log(1+z)=z-\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}-\cdots

Квадрат:

(log⁡(1+z))2=z2−z3+1112z4+⋯(\log(1+z))^2=z^2-z^3+\frac{11}{12}z^4+\cdots

Делим на z3z^3:

  g(z)=1z−1+1112z−56z2+⋯  \boxed{\; g(z)=\frac1z-1+\frac{11}{12}z-\frac56 z^2+\cdots \;}

Значит в z=0z=0 простой полюс, и

Res⁡z=0g=1.\boxed{\operatorname{Res}_{z=0} g=1}.

6) Res⁡z=∞\operatorname{Res}_{z=\infty} для

h(z)=2z2+3z−1z(z−1).h(z)=\frac{2z^2+3z-1}{z(z-1)}.

Разложим на простые дроби:

2z2+3z−1z(z−1)=2+1z+4z−1.\frac{2z^2+3z-1}{z(z-1)}=2+\frac{1}{z}+\frac{4}{z-1}.

Резидуи в конечных точках: Res⁡0=1\operatorname{Res}_{0}=1, Res⁡1=4\operatorname{Res}_{1}=4. Тогда

Res⁡∞h=−(1+4)=−5.\boxed{\operatorname{Res}_{\infty} h=-(1+4)=-5 }.

7) Интеграл

I1=∮∣z∣=2sin⁡zz(z−1)2 dz.I_1=\oint_{|z|=2}\frac{\sin z}{z(z-1)^2}\,dz.

Полюса внутри: z=0z=0 (простой) и z=1z=1 (2-го порядка).

  • В z=0z=0: Res⁡0=lim⁡z→0sin⁡z(z−1)2=0\operatorname{Res}_0=\lim_{z\to 0}\frac{\sin z}{(z-1)^2}=0.
  • В z=1z=1 (полюс 2):
Res⁡1=ddz((z−1)2sin⁡zz(z−1)2)∣z=1=ddz(sin⁡zz)∣z=1.\operatorname{Res}_{1}=\left.\frac{d}{dz}\left((z-1)^2\frac{\sin z}{z(z-1)^2}\right)\right|_{z=1} =\left.\frac{d}{dz}\left(\frac{\sin z}{z}\right)\right|_{z=1}. (sin⁡zz)′=zcos⁡z−sin⁡zz2⇒Res⁡1=cos⁡1−sin⁡1.\left(\frac{\sin z}{z}\right)'=\frac{z\cos z-\sin z}{z^2}\Rightarrow \operatorname{Res}_{1}=\cos 1-\sin 1.

Тогда

 I1=2πi(cos⁡1−sin⁡1) .\boxed{\,I_1=2\pi i(\cos 1-\sin 1)\, }.

8) Интеграл

I2=∮∣z−1∣=2ez(z−1)3(z+2) dz.I_2=\oint_{|z-1|=2}\frac{e^z}{(z-1)^3(z+2)}\,dz.

Внутри окружности ∣z−1∣<2|z-1|<2 полюс z=1z=1 (порядка 3); точка −2-2 снаружи (расстояние 3).

Пусть g(z)=ezz+2g(z)=\dfrac{e^z}{z+2}, аналитична внутри. Тогда по формуле Коши для производных (n=2n=2):

I2=2πi2! g′′(1)=πi g′′(1).I_2=\frac{2\pi i}{2!}\,g''(1)=\pi i\, g''(1).

Вычисление даёт g′′(1)=5e27g''(1)=\dfrac{5e}{27}. Значит

 I2=5πi e27 .\boxed{\,I_2=\frac{5\pi i\,e}{27}\, }.

9) При ℜs>0\Re s>0:

I3(s)=∫0∞e−stt2cos⁡(2t) dt.I_3(s)=\int_0^\infty e^{-st}t^2\cos(2t)\,dt.

Это L{t2cos⁡(2t)}(s)\mathcal L\{t^2\cos(2t)\}(s).
Сначала F(s)=L{cos⁡(2t)}=ss2+4F(s)=\mathcal L\{\cos(2t)\}=\dfrac{s}{s^2+4}.
Тогда

L{t2cos⁡(2t)}(s)=d2ds2(ss2+4).\mathcal L\{t^2\cos(2t)\}(s)=\frac{d^2}{ds^2}\left(\frac{s}{s^2+4}\right).

Дифференцирование даёт:

  I3(s)=2s(s2−12)(s2+4)3,ℜs>0.  \boxed{\; I_3(s)=\frac{2s(s^2-12)}{(s^2+4)^3},\quad \Re s>0. \;}

10) Построить ff и вычислить ∮∣z∣=4f(z) dz\displaystyle\oint_{|z|=4} f(z)\,dz

Нужны простые полюса: z=1z=1 (Res =4=4), z=2z=2 (Res =−2=-2), и f(z)→0f(z)\to 0 при z→∞z\to\infty. Берём сумму главных частей:

 f(z)=4z−1−2z−2 \boxed{\,f(z)=\frac{4}{z-1}-\frac{2}{z-2}\,}

(добавить целую часть нельзя, т.к. целая и →0\to0 ⇒ тождественно 0).

На ∣z∣=4|z|=4 оба полюса внутри, поэтому

∮∣z∣=4f(z) dz=2πi(4−2)= 4πi .\oint_{|z|=4} f(z)\,dz=2\pi i(4-2)=\boxed{\,4\pi i\, }.

Вариант 2 (аналогично)

1)

u=x3−3xy2(1+x2+y2)3,v=3x2y−y3(1+x2+y2)3.u=\frac{x^3-3xy^2}{(1+x^2+y^2)^3},\quad v=\frac{3x^2y-y^3}{(1+x^2+y^2)^3}.

Как и в варианте 1, К–Р выполняются только в (0,0)(0,0), и

f′(0)=lim⁡z→0z2(1+∣z∣2)3=0.f'(0)=\lim_{z\to0}\frac{z^2}{(1+|z|^2)^3}=0.

Дифференцируема только в нуле, не голоморфна в области, не конформна.

2) (та же оговорка про возможную опечатку)

Стандартный согласованный с голоморфностью вариант даёт:

 v(x,y)=ex((1−y)sin⁡y+xcos⁡y) \boxed{\,v(x,y)=e^x\big((1-y)\sin y+x\cos y\big)\,}

(если u=ex((1−y)cos⁡y−xsin⁡y)u=e^x((1-y)\cos y-x\sin y), т.е. f(z)=(1+iz)ezf(z)=(1+iz)e^z).

3)

\Log(−i)=−iπ2,\Log(1−i)=12ln⁡2−iπ4,\Log(2i)=ln⁡2+iπ2.\boxed{\Log(-i)=-i\frac{\pi}{2}},\quad \boxed{\Log(1-i)=\frac12\ln2-i\frac{\pi}{4}},\quad \boxed{\Log(2i)=\ln2+i\frac{\pi}{2}}.

4)

f(z)=e2z(z2+z+2)(z−1)2(z+3):f(z)=\frac{e^{2z}(z^2+z+2)}{(z-1)^2(z+3)}:   f(z)=e2(z−1)2+5e22(z−1)+25e28+245e296(z−1)+⋯  \boxed{\; f(z)=\frac{e^2}{(z-1)^2}+\frac{5e^2}{2(z-1)}+\frac{25e^2}{8}+\frac{245e^2}{96}(z-1)+\cdots \;} Res⁡z=1f=5e22.\boxed{\operatorname{Res}_{z=1}f=\frac{5e^2}{2}}.

5)

g(z)=(log⁡(1−z))2z3=1z+1+1112z+56z2+⋯g(z)=\frac{(\log(1-z))^2}{z^3}=\frac1z+1+\frac{11}{12}z+\frac56 z^2+\cdots

Простой полюс, Res⁡0g=1\boxed{\operatorname{Res}_{0}g=1}.

6)

h(z)=z2−4z+3z(z+1)=1+3z−8z+1.h(z)=\frac{z^2-4z+3}{z(z+1)}=1+\frac{3}{z}-\frac{8}{z+1}.

Сумма резидуума в конечных: 3+(−8)=−53+(-8)=-5, значит

Res⁡∞h=5.\boxed{\operatorname{Res}_{\infty}h=5}.

7)

I1=∮∣z∣=3cos⁡zz2(z−2) dz=2πi(Res⁡0+Res⁡2).I_1=\oint_{|z|=3}\frac{\cos z}{z^2(z-2)}\,dz =2\pi i\left(\operatorname{Res}_0+\operatorname{Res}_2\right). Res⁡2=cos⁡222=cos⁡24,Res⁡0=ddz(cos⁡zz−2)∣z=0=−14.\operatorname{Res}_2=\frac{\cos2}{2^2}=\frac{\cos2}{4},\quad \operatorname{Res}_0=\left.\frac{d}{dz}\left(\frac{\cos z}{z-2}\right)\right|_{z=0}=-\frac14.   I1=2πi⋅cos⁡2−14=πi2(cos⁡2−1)  \boxed{\;I_1=2\pi i\cdot\frac{\cos2-1}{4}=\frac{\pi i}{2}(\cos2-1)\;}

8)

I2=∮∣z+1∣=2ez(z+1)2z3 dz=2πi(Res⁡−1+Res⁡0).I_2=\oint_{|z+1|=2}\frac{e^z}{(z+1)^2z^3}\,dz =2\pi i\left(\operatorname{Res}_{-1}+\operatorname{Res}_{0}\right).

Получается:

Res⁡0=32,Res⁡−1=−4e,\operatorname{Res}_{0}=\frac32,\quad \operatorname{Res}_{-1}=-\frac{4}{e},   I2=2πi(32−4e)=πi(3−8e)  \boxed{\;I_2=2\pi i\left(\frac32-\frac4e\right)=\pi i\left(3-\frac{8}{e}\right)\;}

9)

I3(s)=∫0∞e−stt2cos⁡(3t) dt=d2ds2(ss2+9)=2s(s2−27)(s2+9)3,ℜs>0.I_3(s)=\int_0^\infty e^{-st}t^2\cos(3t)\,dt =\frac{d^2}{ds^2}\left(\frac{s}{s^2+9}\right) =\boxed{\frac{2s(s^2-27)}{(s^2+9)^3}},\quad \Re s>0.

10)

 f(z)=2z+1−3z−3 ,∮∣z∣=5f(z) dz=2πi(2−3)=−2πi.\boxed{\,f(z)=\frac{2}{z+1}-\frac{3}{z-3}\,},\qquad \oint_{|z|=5} f(z)\,dz=2\pi i(2-3)=\boxed{-2\pi i}.

Если скажешь, какой именно вариант у тебя и точно ли во 2-м задании стоит ysin⁡yy\sin y или xsin⁡yx\sin y, я подгоню решение пункта 2 строго под твой бланк (потому что при ysin⁡yy\sin y задача получается несовместной с голоморфностью).

이 Q&A 공유하기