Найдите все возможные способы разложения числа ...

Обозначим искомые слагаемые через $x,y,z$ (натуральные, попарно различные), причём

$$x+y+z = M$$

и любые два в сумме делятся на третье:

$$\begin{cases} x \mid y+z,\\ y \mid x+z,\\ z \mid x+y. \end{cases}$$

---

1. Вводим коэффициенты

По условию существуют натуральные $k,l,m$, такие что

$$\begin{cases} y+z = kx,\\ x+z = ly,\\ x+y = mz. \end{cases}\tag{1}$$

Выразим из первого уравнения:

$$z = kx - y.$$

Подставим в второе:

$$x + (kx - y) = ly \quad\Rightarrow\quad (k+1)x = (l+1)y.$$

Отсюда

$$y = \frac{k+1}{l+1}x.$$

Теперь найдём $z$:

$$z = kx - y = kx - \frac{k+1}{l+1}x = \frac{kl-1}{l+1}x.$$

Подставим всё это в третье уравнение системы (1):

$$x + y = mz.$$

Левая часть:

$$x + y = x + \frac{k+1}{l+1}x = \frac{k+l+2}{l+1}x.$$

Правая часть:

$$mz = m\cdot \frac{kl-1}{l+1}x.$$

Получаем:

$$\frac{k+l+2}{l+1}x = m\cdot \frac{kl-1}{l+1}x.$$

Сокращаем на $x$ и на $l+1$:

$$k+l+2 = m(kl-1).$$

Перенесём:

$$mkl = k+l+m+2. \tag{2}$$

Это соотношение верно для любых трёх натуральных $x,y,z$, удовлетворяющих условию, и определяющих $k,l,m$ по (1).

---

2. Решаем диофантово уравнение для $k,l,m$

Рассмотрим все натуральные решения уравнения

$$k l m = k + l + m + 2.$$

Поскольку мы можем переставлять $x,y,z$, можно без ограничения общности считать

$$1 \le k \le l \le m.$$

Из (2):

$$klm = k + l + m + 2 \le m + m + m + 2 = 3m + 2,$$

откуда

$$klm \le 3m+2 \quad\Rightarrow\quad kl \le 3 + \frac{2}{m} < 5.$$

Значит,

$$kl \le 4.$$

Если $k \ge 3$, то $l \ge k \ge 3$, и тогда $kl \ge 9$, что противоречит $kl \le 4$.
Следовательно,

$$k \in \{1,2\}.$$

Случай 1: $k = 1$

Подставляем в (2):

$$1\cdot l m = 1 + l + m + 2 \quad\Rightarrow\quad lm = l + m + 3.$$

Перенесём:

$$lm - l - m = 3 \quad\Rightarrow\quad (l-1)(m-1) = 4.$$

Поскольку $l-1 \le m-1$ и оба натуральные, возможны пары

$$(l-1, m-1) \in \{(1,4), (2,2)\},$$

то есть

$$(l,m) = (2,5)\ \text{или}\ (3,3).$$

Итак, в этом случае (с учётом перестановок) возможны тройки:

$$(k,l,m) = (1,2,5) \quad\text{или}\quad (1,3,3).$$

Случай 2: $k = 2$

Подставляем в (2):

$$2lm = 2 + l + m + 2 \quad\Rightarrow\quad 2lm = l + m + 4.$$

Переносим:

$$2lm - l - m = 4.$$

Удобно переписать так:

$$4lm - 2l - 2m = 8 \quad\Rightarrow\quad (2l-1)(2m-1) = 9.$$

Так как $2 \le l \le m$, то $2l-1 \ge 3$. Возможные разложения 9 на множители:

$$(2l-1, 2m-1) = (3,3),$$

даёт $l = m = 2$.

Итак, в этом случае (с точностью до перестановки):

$$(k,l,m) = (2,2,2).$$

---

3. Какими могут быть сами числа $x,y,z$?

Разберём полученные варианты для $(k,l,m)$.

3.1. $(k,l,m) = (1,2,5)$

Система (1) принимает вид:

$$\begin{cases} y+z = x,\\ x+z = 2y,\\ x+y = 5z. \end{cases}$$

Из первого уравнения: $x = y+z$.
Подставим во второе:

$$(y+z) + z = 2y \quad\Rightarrow\quad y + 2z = 2y \quad\Rightarrow\quad y = 2z.$$

Тогда

$$x = y+z = 2z + z = 3z.$$

Проверим третье уравнение:

$$x+y = 3z + 2z = 5z,$$

что совпадает с правой частью, значит всё корректно.

Итого, все решения в этом случае имеют вид

$$(x,y,z) = (3t, 2t, t) \quad (t \in \mathbb{N}),$$

то есть (с точностью до перестановки)

$$\{t,2t,3t\}.$$

3.2. $(k,l,m) = (1,3,3)$

Система:

$$\begin{cases} y+z = x,\\ x+z = 3y,\\ x+y = 3z. \end{cases}$$

Решая аналогично (или подставив в найденные общие формулы), получаем

$$(x,y,z) = (2t,t,t),$$

то есть две из трёх чисел равны, что противоречит условию попарной различности слагаемых.

3.3. $(k,l,m) = (2,2,2)$

Система:

$$\begin{cases} y+z = 2x,\\ x+z = 2y,\\ x+y = 2z. \end{cases}$$

Отсюда легко видно, что

$$x = y = z,$$

что опять же противоречит попарной различности.

---

Вывод по общему виду тройки

Единственно возможный (при попарной различности) тип тройки:

$$(x,y,z) = (t,2t,3t),$$

в любом порядке, где $t\in\mathbb{N}$.

---

4. Применяем к нашему числу $M$

Нам дано

$$M = 2^{2026}\cdot 3^{2026}\cdot 5^{2026}\cdot 7^{2026}\cdot 13^{2026}.$$

Из предыдущего следует: если разложение с нужным свойством существует, то обязательно

$$M = t + 2t + 3t = 6t,$$

то есть

$$t = \frac{M}{6}.$$

Число $M$ очевидно делится на 6 (в нём есть множители $2$ и $3$), значит $t\in\mathbb{N}$.

Тогда наши слагаемые (без учёта порядка) равны:

$$\frac{M}{6},\quad \frac{M}{3},\quad \frac{M}{2}.$$

Можно выписать их явно:

$$\begin{aligned} \frac{M}{6} &= 2^{2025}\cdot 3^{2025}\cdot 5^{2026}\cdot 7^{2026}\cdot 13^{2026},\\ \frac{M}{3} &= 2^{2026}\cdot 3^{2025}\cdot 5^{2026}\cdot 7^{2026}\cdot 13^{2026},\\ \frac{M}{2} &= 2^{2025}\cdot 3^{2026}\cdot 5^{2026}\cdot 7^{2026}\cdot 13^{2026}. \end{aligned}$$

Проверка условия:

• $\dfrac{M}{6} + \dfrac{M}{3} = \dfrac{M}{2}$ — сумма двух меньших равна третьему, значит делится.
• $\dfrac{M}{6} + \dfrac{M}{2} = \dfrac{4M}{6} = 2\cdot\dfrac{M}{3}$ делится на $\dfrac{M}{3}$.
• $\dfrac{M}{3} + \dfrac{M}{2} = \dfrac{5M}{6} = 5\cdot \dfrac{M}{6}$ делится на $\dfrac{M}{6}$.

Условие выполняется.

---

Ответ

С точностью до перестановки слагаемых существует ровно одно разложение числа

$$M = 2^{2026}\cdot 3^{2026}\cdot 5^{2026}\cdot 7^{2026}\cdot 13^{2026}$$

на три попарно различных натуральных слагаемых с требуемым свойством:

$$\boxed{M = \frac{M}{2} + \frac{M}{3} + \frac{M}{6}.}$$

Или в явном виде:

$$\boxed{ M = 2^{2025}3^{2026}5^{2026}7^{2026}13^{2026} + 2^{2026}3^{2025}5^{2026}7^{2026}13^{2026} + 2^{2025}3^{2025}5^{2026}7^{2026}13^{2026} }$$

(порядок слагаемых несущественен).