Làm cho tôi câu 12 13 14 15 16

Dưới đây là lời giải chi tiết cho các bài 12, 13, 14, 15 và 16:

---

Bài 12

Cho:

• Loài $A, B, C$ có tỉ lệ xuất hiện là $4 : 3 : 3$ → Xác suất: $$P(A) = 0.4, \quad P(B) = 0.3, \quad P(C) = 0.3$$
• Tỉ lệ tương tác màu: $$\begin{aligned} P(H | A) &= 0.6 \\ P(H | B) &= 0.75 \\ P(H | C) &= 0.45 \end{aligned}$$

a. Tính xác suất cá thể thuộc từng loài

Đã biết.

b. Sử dụng định lý Bayes để tìm xác suất cá thể là loài B biết có tương tác H:

$$P(B | H) = \frac{P(H | B) \cdot P(B)}{P(H)}$$

Tính $P(H)$:

$$P(H) = 0.6 \cdot 0.4 + 0.75 \cdot 0.3 + 0.45 \cdot 0.3 = 0.24 + 0.225 + 0.135 = 0.6$$ $$P(B | H) = \frac{0.75 \cdot 0.3}{0.6} = \frac{0.225}{0.6} = 0.375$$

→ Xác suất là loài B khi thấy tương tác: 0.375

c. Sử dụng thêm thí nghiệm thứ 2:

• $P(H_2 | A) = 0.8$, $P(H_2 | B) = 0.5$, $P(H_2 | C) = 0.6$
• Tính $P(B | H_1, H_2)$ theo Bayes mở rộng:

$$P(B | H_1, H_2) = \frac{P(H_1 | B) \cdot P(H_2 | B) \cdot P(B)}{\sum_{i=A,B,C} P(H_1 | i) \cdot P(H_2 | i) \cdot P(i)}$$

Tử số:

$$0.75 \cdot 0.5 \cdot 0.3 = 0.1125$$

Mẫu số:

$$0.6 \cdot 0.8 \cdot 0.4 = 0.192 \\ 0.75 \cdot 0.5 \cdot 0.3 = 0.1125 \\ 0.45 \cdot 0.6 \cdot 0.3 = 0.081 \\ → Tổng = 0.3855$$ $$P(B | H_1, H_2) = \frac{0.1125}{0.3855} \approx 0.292$$

---

Bài 13

Gọi $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, có:

• $P(X > 9.6) = 0.0369$
• $P(X > 8.1) = 0.853$

Suy ra:

$$P(X < 8.1) = 1 - 0.853 = 0.147 \quad \Rightarrow Z_1 = \frac{8.1 - \mu}{\sigma} = z_{0.147} \approx -1.04$$ $$P(X > 9.6) = 0.0369 \quad \Rightarrow Z_2 = \frac{9.6 - \mu}{\sigma} = z_{0.9631} \approx 1.78$$

Hệ phương trình:

$$\begin{cases} \frac{8.1 - \mu}{\sigma} = -1.04 \\ \frac{9.6 - \mu}{\sigma} = 1.78 \end{cases} \Rightarrow \text{Giải: } \mu \approx 8.586, \quad \sigma \approx 0.467$$

a. Trung bình và phương sai:

• $\mu \approx 8.586$
• $\sigma^2 \approx 0.218$

b. Xác suất cây cao từ 5 đến 7 m:

$$Z_1 = \frac{5 - 8.586}{0.467} \approx -7.67, \quad Z_2 = \frac{7 - 8.586}{0.467} \approx -3.4 \Rightarrow P(5 < X < 7) \approx 0$$

c. Chiều cao sao cho 64% cây cao hơn:

$$P(X > x) = 0.64 \Rightarrow P(X < x) = 0.36 \Rightarrow Z = -0.36 \Rightarrow x = \mu + Z\sigma \approx 8.586 - 0.36 \cdot 0.467 \approx 8.418$$

---

Bài 14

$X \sim U[0,2]$, nên mật độ:

$$f_X(x) = \frac{1}{2}, \quad x \in [0,2]$$

Y = (X - 1)² → biến đổi hàm phân phối:

$$Y \in [0, 1], \quad X = 1 \pm \sqrt{y}$$ $$f_Y(y) = \sum \frac{f_X(x_i)}{|g'(x_i)|}$$

$x = 1 \pm \sqrt{y} \Rightarrow g'(x) = 2(x - 1) \Rightarrow |g'(x)| = 2\sqrt{y}$

$$f_Y(y) = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2\sqrt{y}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \right] = \frac{1}{2\sqrt{y}}, \quad y \in (0,1]$$

Kỳ vọng:

$$\mathbb{E}[X] = \int_0^2 x \cdot \frac{1}{2} dx = 1 \\ \text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$

Tính kỳ vọng $Y = (X - 1)^2$

$$E[Y] = E[(X-1)^2] = Var(X) = \frac{1}{3}$$

---

Bài 15

X, Y là biến ngẫu nhiên Bernoulli.

• $P(X=0) = P(Z \leq 1.5)$
• $P(Y=0) = P(Z \geq 0.7)$

Không có hàm phân phối Z nên chưa thể tính cụ thể. Tuy nhiên:

a. Phân phối đồng thời:

X	Y	P
0	0	p1
0	1	p2
1	0	p3
1	1	p4

Với tổng xác suất $p1 + p2 + p3 + p4 = 1$. Không có phân phối Z → không thể hoàn toàn xác định.

b. $T = \frac{X+1}{Y+1}$, lấy giá trị:

X	Y	T
0	0	1
0	1	0.5
1	0	2
1	1	1

Tùy xác suất của từng cặp giá trị (X, Y), ta tính kỳ vọng như:

$$E[T] = 1 \cdot P(0,0) + 0.5 \cdot P(0,1) + 2 \cdot P(1,0) + 1 \cdot P(1,1)$$

---

Bài 16

Cho:

• $f_X(x) = 0.25x$, $x \in [1,3]$
• $Y = \frac{1}{X}$

a. Hàm mật độ Xác suất của Y:

Xác định hàm ngược:
$X = \frac{1}{Y}$

Biến đổi hàm mật độ:

$$f_Y(y) = f_X\left(\frac{1}{y}\right) \cdot \left| \frac{d}{dy} \left(\frac{1}{y}\right) \right| = 0.25 \cdot \frac{1}{y} \cdot \left| -\frac{1}{y^2} \right| = \frac{0.25}{y^3}$$

Hỗ trợ từ $x \in [1,3]$ → $y \in \left[\frac{1}{3}, 1\right]$

→ Hàm mật độ của Y:

$$f_Y(y) = \frac{0.25}{y^3}, \quad y \in \left[\frac{1}{3}, 1\right]$$

b. Kỳ vọng:

$$E[X] = \int_1^3 x \cdot 0.25x dx = 0.25 \int_1^3 x^2 dx = 0.25 \cdot \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^3 = 0.25 \cdot \left( \frac{27 - 1}{3} \right) = 0.25 \cdot \frac{26}{3} \approx 2.17$$ $$E[Y] = E\left[\frac{1}{X}\right] = \int_1^3 \frac{1}{x} \cdot 0.25x dx = \int_1^3 0.25 dx = 0.25 \cdot 2 = 0.5$$

---

Nếu bạn muốn mình giải thêm bài nào hoặc cần biểu đồ/hàm minh hoạ, cứ nói nhé!